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X ENS Mathématiques B MP 2016

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementSuites et séries de fonctionsSéries et familles sommablesTopologie/EVN
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X-ENS
Année
2016
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2016MP MathsMaths 2016
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ÉCOLE POLYTECHNIQUE

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - B - (X)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Toute affirmation doit être clairement et complètement justifiée.
On considère une variable aléatoire discrète définie sur un espace probabilisé ( ) dont la loi est donnée par :
et où est une suite de réels strictement positifs distincts. On suppose que admet une espérance finie notée .
Soit une suite de variables aléatoires définies sur ( ), indépendantes et identiquement distribuées, de même loi que . On note ses sommes partielles définies par
L'objet de ce problème est l'étude du nombre (aléatoire) d'éléments de la suite qui appartiennent à l'intervalle , défini pour par
𝟙
et en particulier le comportement de quand et tendent vers l'infini.

Première partie

1a. Justifier que pour tous et à un ensemble négligeable près. En déduire que, à des ensembles négligeables près,
1b. On suppose dans cette question que admet de plus une variance finie . Montrer alors que
  1. Soit une variable aléatoire à valeurs dans presque sûrement, et qui admet une espérance. Montrer que
3a. Montrer que pour tous et ,
puis que
3b. En déduire que tend vers 0 quand et que
3c. Montrer que pour tous et ,
puis que

Deuxième partie

Soit une fonction. Si est bornée, on note
sa norme uniforme. On appelle support de l'adhérence de . En particulier, si n'appartient pas au support de , alors .
Soit et une fonction positive bornée à support dans [ ]. On va étudier la suite de fonctions définies pour par
4a. Montrer que pour tout , la suite est croissante. On note sa limite dans .
4b. Montrer que si 𝟙, alors .
4c. En déduire que pour tous et ,
4d. Conclure que la suite de fonctions converge simplement vers une fonction positive, bornée et dont le support est inclus dans .
5. Soit une variable aléatoire discrète, indépendante de , et une fonction bornée. Montrer que
6a. Montrer que pour tous et ,
6b. Montrer que la fonction vérifie l'égalité suivante sur
  1. Soit une fonction bornée qui vérifie pour tout .
7a. Montrer que pour tous et , on a .
7b. En déduire que si de plus le support de est inclus dans , alors pour tout .
7c. Conclure qu'il existe une unique fonction bornée à support dans solution de .
8a. Montrer que l'ensemble est dénombrable et inclus dans .
On se donne une énumération de cet ensemble : .
8b. Montrer que pour tout ,
8c. En déduire qu'il existe une suite de réels positifs telle que pour tout ,
9a. Dans la formule précédente, montrer que la convergence de la série est normale sur tout segment de . On pourra utiliser la question 3c,
9b. On suppose que est continue. Montrer que est uniformément continue.
9c. On suppose que est de classe . Montrer que bornée. En déduire que est de classe , que est bornée et uniformément continue et que pour tout ,

Troisième partie

Soit un sous-ensemble non vide de tel que
On dit que est stable par addition.
10a. Montrer si et , alors .
On définit
10b. Donner deux exemples de tels ensembles , l'un pour lequel et l'autre pour lequel .
11. Dans cette question, on suppose que .
11a. Montrer qu'il existe tels que .
On note .
11b. Soient tels que . Montrer que
11c. Montrer qu'il existe tel que puis qu'il existe tel que .
11d. En déduire que , où .
12. On suppose maintenant que .
12a. Soit . Montrer qu'il existe tel que pour pour tout ,
12b. Soit une fonction uniformément continue. On suppose que pour toute suite à valeurs dans telle que quand . Montrer que quand .

Quatrième partie

On suppose dans cette partie que pour tout ,
  1. On considère une fonction uniformément continue et bornée sur telle que pour tout , et
On rappelle que pour tous et (question 7a).
13a. Montrer que pour tout et tels que , on a .
13b. Montrer que l'ensemble défini à la question est stable par addition et que .
13c. En déduire que quand .
13d. Conclure que est une fonction constante.
On suppose dans toute la suite que est de classe , à support dans avec . On rappelle que est la limite croissante des fonctions et l'unique solution bornée et uniformément continue de l'équation (E).
14a. Prouver que la fonction admet une limite finie quand . On note
14b. Montrer qu'il existe une suite telle que quand .
On admet qu'il existe une sous-suite de telle que la suite de fonctions définies par
converge uniformément sur tout segment de vers une fonction notée .
14c. Montrer que est constante, égale à .
14d. Conclure que .
On montrerait de même que , résultat que l'on admet dans toute la suite.
14e. En déduire que quand .
14f. Montrer alors que pour tout quand .
On suppose dans toute la suite de cette partie que seul un nombre fini de sont strictement positifs, et on pose
On admet que est continue par morceaux et à support dans un segment de , intégrable sur , et que .
On note l'ensemble des fonctions positives, bornées et à support dans un segment de . En utilisant la deuxième partie, pour tout , on note l'unique solution de bornée à support dans .
Nous dirons que la suite satisfait la propriété ( ) si et s'il existe une fonction continue bornée , telle que pour toute fonction de continue par morceau,
On admet que pour toute suite tendant vers l'infini, il existe une sous suite de qui satisfait la propriété ( ).
15a. Montrer, en utilisant la question 14f que pour tous et ,
15b. En déduire que est constante.
16a. Montrer que pour et pour .
16b. En déduire que pour tout .
17. Conclure que pour tout de continue par morceaux,
  1. Soit fixé. Déterminer le comportement de quand . Interpréter le résultat. Ce résultat est-il vrai s'il existe tel que ?
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