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X ENS Mathématiques B MP 2019

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Equations différentiellesSuites et séries de fonctions
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X-ENS
Année
2019
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2019MP MathsMaths 2019
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ECOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D’ADMISSION 2019

VENDREDI 19 AVRIL 2019-8h00-12h00 FILIERE MP - Epreuve

MATHEMATIQUES B
(X)

Notations

Si est un entier naturel et un intervalle de , on note l'espace vectoriel des fonctions sur , à valeurs réelles, de classe , c'est à dire fois dérivables sur et dont la -ième dérivée est continue sur .
On munit de la norme définie par :
Soit . On dira qu'une fonction est de classe au voisinage de s'il existe un intervalle ouvert non vide tel que et .
Soit une fonction continue sur à valeurs réelles. Le but de ce problème est d'étudier certaines fonctions vérifiant l'équation fonctionnelle

Partie I

On suppose dans cette partie qu'il existe une fonction vérifiant
1a. Justifier que l'application est une fonction de et en déduire que est de classe au voisinage de tout point tel que . Calculer l'expression de en fonction de en de tels points.
1b. Montrer que si est tel que , alors est dérivable en et .
2. En déduire que est une fonction de , qu'elle vérifie sur l'équation différentielle
et conclure qu'une telle fonction n'existe pas.
3. Montrer que les fonctions et définies par et sur sont des fonctions de et vérifient

Partie II

Soit .
On définit le sur-différentiel de en [ comme l'ensemble des pour lesquels il existe une fonction de classe au voisinage de , avec et telle que admet un maximum local en . On note cet ensemble .
On définit le sous-différentiel de en [ comme l'ensemble des pour lesquels il existe une fonction de classe au voisinage de , avec et telle que admet un minimum local en . On note cet ensemble .
4. Soit . Montrer que si est de classe au voisinage de alors
  1. Soit . On suppose que et sont non vides.
5a. Prouver qu'il existe de classe au voisinage de et tels que
et pour tout ,
5b. En déduire que est dérivable en . Déterminer et .
6a. Soit . Soit . En considérant la fonction définie sur l'intervalle ouvert , montrer qu'il existe tel que .
6b. Démontrer que l'ensemble est dense dans .
7a. Soit tel que . Soit . Montrer que
Dans les sous-questions 7 b à 7 e , on considère et satisfaisant (3). Le but est de montrer qu'alors réciproquement .
7b. On pose, pour ,
et . Justifier que, pour tout est un nombre réel bien défini, puis que, pour tout ,
7c. Montrer que la fonction définie sur appartient à et vérifie
7d. Prouver que
7e. Conclure que et que, pour tout ,
On peut montrer de même (mais on ne demande pas de le vérifier) que pour tout ,
  1. Soit . Montrer que le résultat de la question 4 est toujours valable en supposant uniquement dérivable en .
  2. Soit tel que . Démontrer que est un intervalle fermé.
  3. On suppose dans cette question que est concave sur . Soit .
10a. Soient avec . Prouver que
10b. Montrer que
sont bien définies et que .
10c. Démontrer que
En déduire que admet un maximum en si et seulement si .

Partie III

Soit une fonction continue sur à valeurs réelles. On suppose qu'il existe une fonction continue croissante , vérifiant , telle que, pour tous , et pour tout ,
On dit que est une sur-solution de (1) si pour tout , pour tout ,
On dit que est une sous-solution de (1) si pour tout , pour tout ,
11a. Montrer que si vérifie
alors est sur-solution et sous-solution de (1).
11b. Montrer que si est à la fois sur-solution et sous-solution de (1), alors en tout point au voisinage duquel est de classe , on a
On souhaite démontrer que si est une sous-solution et une sur-solution de (1) telles que
alors
Dans les questions 12 à 15. on suppose par l'absurde qu'il existe pour lequel .
12. Montrer que la fonction atteint son maximum sur en un point et . Montrer qu'il existe tel que pour tout vérifiant
on a
et
où est la fonction intervenant en (4).
Pour un paramètre obtenu grâce à la question précédente, on considère la fonction : , définie par
  1. Démontrer que atteint son maximum sur en un point tel que .
14a. Montrer que
14b. En déduire que et .
14c. Conclure que
  1. Prouver que
et obtenir une contradiction. Conclure.

Partie IV

16a. Calculer le sur-différentiel et le sous-différentiel de la fonction de la question 3 pour tout .
16b. Montrer que
16c. Vérifier que est sur-solution et sous-solution de (1) pour .
16d. Qu'en est-il de ?
16e. En déduire que est l'unique fonction continue vérifiant et qui soit sur-solution et sous-solution de (1) pour .
Soit . On pose
et on définit la fonction par la formule
  1. Montrer que est de classe sur et vérifie
18a. Montrer que est l'unique solution de classe sur à (5).
18b. Soit une suite de tendant vers 0 . Prouver que converge uniformément sur lorsque vers une fonction que l'on déterminera.
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