X ENS Mathématiques B MP 2022

MARDI 26 AVRIL 2022
08h00-12h00
FILIERE MP - Epreuve

MATHEMATIQUES B (X)

On appelle fonction cotangente, la fonction

Pour tout entier , on pose .
Les parties I et II sont indépendantes.

Soient les fonctions et définies sur par :

On pose .
1a. Pour , justifier que la série définissant est convergente.

1b. Montrer que les fonctions et sont impaires.

1c. Montrer que les fonctions et sont périodiques de période 1.

1d. Montrer que les fonctions et sont continues sur .

2a. Montrer que pour tout , on a

2b. Montrer que pour tout , on a

3a. Montrer que la fonction se prolonge par continuité en une fonction sur telle que .

3b. Justifier l'existence de tel que , où , puis montrer que:

5a. Montrer que :

5b. En déduire :

Soit la fonction de dans définie par

7a. Montrer que la fonction est de classe sur et que, pour tout , on a

7b. On définit une suite de nombres réels en posant , puis

Montrer que pour tout :

7c. Calculer et puis et .

Soit un ensemble infini dénombrable où les sont des éléments deux à deux distincts. On note l'ensemble des mesures de probabilité sur . Si , on note pour .
On note l'ensemble des parties de . Soit le -espace vectoriel des fonctions bornées de dans . Si , on pose

8a. Montrer que est une partie de .

8b. Montrer que définit une norme sur l'espace vectoriel .
9. Soient une suite d'éléments de et soit un élément de . Montrer que si la suite converge vers dans l'espace vectoriel normé , alors

On se propose réciproquement de montrer qu'une suite d'éléments de vérifiant la condition (1) pour un élément converge vers dans . On fixe donc une suite d'éléments de et vérifiant la condition (1). On fixe également un réel .

10a. Montrer qu'il existe une partie finie de et un entier tels que et pour tout entier

10b. Montrer que pour toute partie de :

et en déduire que si , alors .
10c. En déduire que la suite converge vers dans si et seulement si elle vérifie la condition (1).
11. Pour tout entier , on note la mesure de probabilité sur telle que, pour tout ,

La suite converge-t-elle dans ?

Soit une suite d'éléments de .
12a. Montrer qu'il existe une suite d'applications strictement croissantes de dans telle que, pour tout et pour tout entier , la suite converge.

12b. Montrer que pour tout et tout entier , la limite de la suite ne dépend que de et pas de . On note cette limite .

12c. Montrer que l'application

est strictement croissante, et que, pour tout entier , la suite converge vers .

12d. Montrer que pour tout de , et que .
On dit que la suite d'éléments de est tendue si pour tout réel , il existe une partie finie de telle que pour tout entier naturel .

12e. On supose de plus que la suite est tendue. Montrer alors que définit un élément de qui est une valeur d'adhérence de la suite dans .

Soit une partie infinie dénombrable de . Soit un espace probabilisé sur lequel seront définies les différentes variables aléatoires apparaissant dans la suite de ce problème. On admet que toutes les variables aléatoires introduites peuvent être construites sur cet espace. On note l'espérance d'une variable aléatoire réelle sur .
Soit une variable aléatoire définie sur et à valeurs dans . On appelle loi de la variable et on note l'application

où tel que .
13. Vérifier que est une probabilité sur .
14. Montrer que pour toutes variables aléatoires et sur et pour toute partie de :

et en déduire que , où tel que .
Soit une suite de variables aléatoires définies sur ( ), et à valeurs dans . On suppose que pour tout , la suite est stationnaire et converge vers . On définit aussi la variable aléatoire :

15a. Justifier que l'application est bien définie.

15b. Montrer que pour tout entier de .
15c. En déduire que .
Si et est un nombre premier, on note la valuation -adique de . Pour , on définit l'application

où est la suite des nombres premiers, classés par ordre croissant.
16. Soit une variable aléatoire définie sur et à valeurs dans . Montrer que

Si est une variable aléatoire à valeurs dans et si , on note la probabilité de l'évènement « divise ». Si , on note l'ensemble des multiples strictement positifs de .
17. Soient et deux probabilités sur . On suppose que . On veut montrer que .

17a. On rappelle que l'on note la suite des nombres premiers, classés par ordre croissant. Montrer que pour tout et tout entier :

17b. Montrer que pour tout et tout entier :

17c. Conclure.
18. Soit une suite de variables aléatoires définies sur ( ) et à valeurs dans et soit une variable aléatoire définie sur et à valeurs dans . On suppose que:
i. La suite est tendue (on rappelle que le qualiticatif tendue a été défini en ).
ii. Pour tout .

Montrer qu'alors, la suite tend vers dans .
Soit . Pour , soient variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant toutes la loi uniforme sur .
On note le pgcd de .
19. Pour et , calculer et montrer que . En déduire que

Pour fixé, on définit une loi de probabilité sur en posant, pour ,

20a. Soit une variable aléatoire définie sur ( ) qui suit la loi . Calculer pour .

20b. Soit un entier. En déduire que la suite converge dans vers .
21. Soit avec . On tire au hasard nombres dans et on note la probabilité que ces nombres soient premiers entre eux. Montrer que

et donner la valeur de dans le cas où , puis , et enfin .