ÉCOLE POLYTECHNIQUE - ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2011
filière PC

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

On désigne par le corps des nombres réels et par l'ensemble des réels positifs ou nuls. Soit un entier . On désigne par l'espace vectoriel réel des matrices carrées à lignes et colonnes. Si , on note son déterminant. On désigne par le sous-espace vectoriel de des matrices symétriques. On note la matrice identité. On identifie et l'espace des matrices à lignes et 1 colonne.

1a. Montrer que pour réel , la fonction est intégrable sur . On pose alors .

1b. Calculer pour entier strictement positif.
1c. Montrer que est continue sur .
2a. Montrer que pour tout entier strictement positif et pour . Montrer que .

2b. Montrer que , pour tout réel et pour tout entier . (On pourra procéder par intégrations par parties successives).

2c. Montrer que pour tout réel .

Soit . On dit que est positive si est symétrique et

où . .
3. Soit . Montrer que est positive si et seulement si , .
4. Soit . Montrer que est positive si et seulement si ses valeurs propres sont des réels positifs ou nuls.
5. Soit une matrice positive, et des réels. Montrer que, posant , la matrice est positive.
6. Soit un espace vectoriel préhilbertien réel, pour lequel le produit scalaire de deux éléments est noté . Soient . On pose . Montrer que la matrice est positive.

Soient . Leur produit de Hadamard est la matrice donné par : . On désignera cette opération par le signe *: .
7. Montrer que si est une matrice positive et si est une matrice diagonale à coefficients diagonaux positifs ou nuls, alors est une matrice positive.

8a. Montrer que si est une matrice positive, elle peut s'écrire comme somme de matrices de la forme , où . On pourra commencer par le cas où est diagonale.

8b. Montrer que si sont des matrices positives, alors est une matrice positive.

On considère maintenant des matrices dont les coefficients sont des réels positifs ou nuls. Il résulte de la question . que si est positive, alors pour tout entier , la matrice est positive. On dit qu'une matrice symétrique à coefficients positifs ou nuls est infiniment divisible si pour tout réel , la matrice ( ) est positive. On désignera encore, lorsque est un réel strictement positif, par la matrice ( ).

9a. Soit une matrice symétrique positive à coefficients positifs ou nuls. Montrer qu'elle est infiniment divisible.

9b. Soit . Montrer que est positive. Déterminer les valeurs de pour lesquelles est positive.
10. Montrer que si est infiniment divisible et si sont des réels strictement positifs, alors posant , la matrice est infiniment divisible.
11. Soit une matrice symétrique à coefficients positifs ou nuls. Montrer que si pour tout entier est positive, alors est infiniment divisible.
12. Soient des réels strictement positifs. On forme la matrice avec et on se propose de montrer qu'elle est infiniment divisible.

Soit l'espace vectoriel des fonctions continues sur à valeurs réelles, dont le carré est intégrable. On munit du produit scalaire : pour . On pose, pour tout .

12a. Calculer et en déduire que est positive.
12b. Montrer que pour et .
12c. Soit, pour l'ensemble des fonctions continues sur à valeurs réelles telles que la fonction est intégrable sur . On admet que c'est un espace vectoriel. Montrer que si on pose, pour , on munit d'un produit scalaire.

12d. Montrer que est infiniment divisible.
13. Soient des réels strictement positifs. Pour on pose . On se propose de montrer que la matrice est infiniment divisible.

13a. Montrer que .
13b. Montrer que pour tout entier , la matrice est infiniment divisible. Conclure.

On dit qu'une matrice de est conditionnellement positive si elle est symétrique et si pour tout tel que , on a

et utiliser les résultats de la question 12.).
15. Notons la matrice de dont tous les coefficients sont égaux à 1 . Soit . Considérons les deux conditions suivantes:
(i) est conditionnellement positive.
(ii) tel que la matrice est positive.

Montrer que (ii) implique (i).
On admettra dans la suite que ces deux conditions sont en fait équivalentes.
16a. On suppose que est infiniment divisible et que tous les coefficients de sont strictement positifs. Montrer que la matrice ( ) est conditionnellement positive.

16b. Réciproquement, supposons que la matrice est conditionnellement positive. En considérant pour tout une matrice comme au 15., montrer que pour tout , la matrice est positive. En déduire que la matrice est positive.

17a. Soient des nombres complexes. Montrer que la matrice est infiniment divisible.

17b. Soient des nombres complexes. Montrer que pour tout , la matrice de coefficients est positive, puis que la matrice de coefficients est conditionnellement positive.

17c. Montrer que la matrice est infiniment divisible.