CONCOURS D'ADMISSION 2012
filière PC

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Ce sujet porte sur l'étude qualitative des solutions des systèmes d'équations différentielles autonomes avec de classe . On s'intéressera en particulier au comportement asymptotique de ces solutions.

Dans tout le sujet, est muni de son produit scalaire canonique noté , euclidienne associée, notée , c'est-à-dire que pour

L'ensemble des matrices carrées de taille à coefficients dans est noté . L'ensemble des matrices inversibles de taille à coefficients dans est noté . L'ensemble des matrices orthogonales de taille à coefficients dans est noté . La matrice identité de taille est notée .

L'ensemble des fonctions de classe de dans sera noté .

Soient et deux fonctions. On note si

Les lettres et désigneront toujours un intervalle de .

Définition (Solution maximale). Soit . Une solution de

est une solution maximale si est une fonction de classe et si pour toute autre fonction de classe solution de avec sur on a .

On pourra utiliser le résultat suivant que l'on ne demande pas de démontrer :
Théorème 1. Soit de classe . Pour tout et pour tout , il existe une unique solution maximale du problème de Cauchy

et cette solution maximale est définie sur un intervalle ouvert de qui contient . Si est linéaire en , alors la solution maximale est définie sur .

Pour une matrice , on note

On considère le problème de Cauchy suivant

où et .
3. Montrer que admet une unique solution maximale .
4. Soit .
a) Montrer que pour tout .
b) Montrer que pour tout , on a

c) En déduire que et donner pour en fonction de et .
d) Donner les limites de pour et pour .

Dans cette partie, on étudie le problème

où et .
On définit par où est la solution maximale de .
5. Montrer que pour tout est linéaire injective. En déduire qu'il existe tel que pour tout .
6. a) Montrer que est de classe sur et que pour tout .
b) Montrer que et que pour tout .
c) Montrer que pour tout .
7.a) Soit . Montrer que .
b) Montrer que si est une matrice diagonale dont les coefficients sont notés alors est une matrice diagonale dont les coefficients sont .
Dans le cas où , calculer pour tout .
8. a) Soit et des constantes positives dans . Soit une fonction continue qui vérifie

Montrer que pour tout , on a .
Indication : On pourra étudier la fonction .
b) Montrer que pour tout .
9. Soit une fonction . Soit . On considère le problème de Cauchy

a) Montrer que pour tout ,

est bien défini et solution du problème ( ).
b) Montrer que si est une solution de classe de sur un intervalle ouvert contenant 0 , alors pour tout .
10.a) Soit . Soit . Soit une fonction de classe telle que . Soit une fonction de classe qui vérifie . Montrer que .
b) On suppose dans cette question que est une matrice triangulaire supérieure de coefficients diagonaux . On suppose qu'il existe tel que pour tout , . Montrer que où est la solution maximale du problème .
c) On suppose ici que le polynôme caractéristique de est scindé sur . On suppose de plus que toutes les valeurs propres de sont strictement négatives. Montrer qu'il existe tel que .
11. On suppose que est dans et que .
a) Donner les valeurs propres de dans et montrer que est pair.
b) Montrer que pour tout .

Soit . Dans cette partie, on s'intéresse à la solution de

pour .
12. Soit une solution de ( ). On suppose que existe. On souhaite montrer que . On suppose donc par l'absurde .
a) Montrer qu'il existe tel que

b) Montrer que

c) En conclure que .
13. Dans cette question, on suppose que

où . Soit la solution maximale de .
a) Si , montrer que et identifier la solution maximale. Quelle est la nature de la courbe ?
b) On admet dans cette question que lorsque . Montrer que pour , on a .
Indication : On pourra étudier la fonction .
c) On suppose et on pose . Montrer que, si est définie sur , alors . En déduire .
14. Dans cette question, on suppose qu'il existe une matrice dont le polynôme caractéristique est scindé sur , dont toutes les valeurs propres sont strictement négatives et telle que quand .
a) Montrer que est la matrice jacobienne de en 0 .
b) Soit la solution maximale de ( ). On supposera que . Montrer qu'il existe et tels que pour tout et tout on a

dès que

c) En déduire qu'il existe et tels que pour avec , on a

d) Soit et des fonctions de classe qui vérifient

où et .
Montrer qu'il existe tel que si , alors et tendent vers 1 lorsque tend vers .