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X ENS Mathématiques PC 2014

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Equations différentiellesIntégrales généraliséesIntégrales à paramètresSuites et séries de fonctions
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X-ENS
Année
2014
Filière
PC
Matière
Maths
X-ENS PCX-ENS 2014PC MathsMaths 2014
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COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - (XEULC)

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Ce sujet est consacré à l'étude de propriétés asymptotiques de certaines intégrales à paramètre.
Notations, définitions, Rappels.
Nombres. On note l'ensemble des entiers naturels, l'ensemble des entiers naturels non nuls, l'ensemble des entiers relatifs et l'ensemble des entiers relatifs non nuls.
Fonctions numériques. Si est un intervalle de , on note (respectivement ), l'ensemble des fonctions continues sur à valeurs réelles (respectivement à valeurs complexes). Pour , on note (respectivement ), l'ensemble des fonctions de classe sur à valeurs réelles (respectivement à valeurs complexes). On note (respectivement ) l'ensemble des fonctions de classe sur à valeurs réelles (respectivement à valeurs complexes).
Si est une fonction bornée sur , on note (ou simplement ) la valeur
Si est un intervalle ouvert, on dit qu'une fonction est à support compact dans s'il existe , tels que pout tout .
Séries indexées par . Pour une famille de nombres réels ou complexes , on dit que la série est convergente si les deux séries
sont convergentes, et on pose alors
Coefficients de Fourier. Si est périodique de période , et si , le -ième coefficient de Fourier de est
Dans tout le sujet, et sont deux nombres réels tels que .
Les trois parties du sujet sont indépendantes.

I - Intégrales à phase réelle

  1. Deux cas particuliers. Soit . Soit telle que .
    (a) Montrer que
Indication. Pour , on pourra construire une fonction continue par morceaux sur , bornée, telle que
(b) Montrer de même que
Indication. On rappelle l'égalité .
Soit telle que et . Pour tout paramètre , on note
Les deux cas étudiés à la question 1) correspondent à et , respectivement, lorsque et .
2. Cas où la phase n'a pas de point critique dans . On suppose que pour tout .
(a) Montrer que réalise une bijection de sur un intervalle de la forme , et qu'elle est de classe .
(b) Montrer que
Indication. On se ramènera au cas traité à la question 1a) à l'aide d'un changement de variable.
3. Cas où la phase a un point critique en a. On suppose maintenant que , , et pour tout .
(a) Montrer que la formule définit une fonction de classe sur . Calculer .
(b) Montrer que réalise une bijection de sur un intervalle de la forme .
(c) Montrer que
Indication. On se ramènera au cas traité à la question 1b) à l'aide d'un changement de variable.
On admettra que le résultat se généralise de la façon suivante :
Résultat 1. Soit et . On suppose qu'il existe un unique tel que . On suppose de plus que et . On suppose finalement que converge. Alors,
  1. Application. Pour tout , on note .
    (a) Calculer pour tout . On utilisera une récurrence.
    (b) En déduire l'équivalent suivant
Indication. On réécrira d'abord sous la forme

II - Fonctions périodiques

  1. Séries de Fourier. Soit une fonction périodique de période , de classe .
    (a) Montrer que pour tout .
    (b) Montrer que la série converge. Indication. Utiliser la formule de Parseval pour la fonction .
    (c) Montrer que .
Soit une fonction continue, périodique de période . Soit une fonction de classe sur . Pour tout paramètre , on pose
  1. Premier cas. Dans cette question, on suppose de plus que est de classe sur et que est à support compact dans .
    (a) Montrer que pour tout ,
Indication. On pourra se ramener au cas où .
(b) En déduire la limite de quand .
7. Deuxième cas. On suppose maintenant seulement que est périodique de période , et . Soit . On définit une subdivision de l'intervalle de la façon suivante. On note la partie entière de . On définit alors
(a) Montrer que .
(b) En déduire que
(c) Montrer que pour tout entier tel que , pour tout ,
(d) Montrer que
(e) Montrer que
(f) En déduire que .
8. Application. Soit . Soit . Soit une fonction continue. On considère l'équation différentielle suivante
(a) Justifier l'existence et l'unicité d'une solution de (1), définie pour .
(b) Calculer cette solution au moyen de la méthode de variation des constantes. On notera cette solution .
(c) On suppose que est -périodique. Montrer que pour tout admet une limite quand , limite que l'on calculera.

III - Intégrales oscillantes

Dans cette partie, et sont deux fonctions de classe . On s'intéresse maintenant à des intégrales de la forme
où est un paramètre réel strictement positif.
Dans toute la suite, on fixe .
9. Cas d'une phase non stationnaire. On suppose dans cette question que pour tout .
(a) On définit et par : pour tout , tout ,
i. Déterminer les fonctions telles que .
ii. Soit . On suppose que est à support compact dans . Montrer que
(b) Montrer que si est à support compact dans , alors pour tout , il existe une constante indépendante de telle que
  1. (a) On suppose que pour tout et que est monotone sur . Montrer qu'il existe une constante , indépendante de et de , telle que
Indication. On pourra écrire
et intégrer par parties.
(b) Soit . On suppose que pour tout et que est monotone sur . Montrer que
  1. Cas où la phase peut être stationnaire. Dans toute cette question, on suppose que pour tout .
    (a) Montrer que est strictement monotone sur et qu'il existe un unique point tel que .
    (b) Si , montrer que .
    (c) Montrer que pour tout ,
(d) En déduire qu'il existe une constante , indépendante de et telle que
(e) Montrer que
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