L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Toute affirmation doit être clairement et complètement justifiée.

Dans ce problème, est un entier strictement positif. L'espace vectoriel réel est muni du produit scalaire canonique et de la norme euclidienne associée ; on l'identifie à l'espace des vecteurs colonnes à coordonnées. Ainsi, pour deux vecteurs et de .
est l'algèbre des matrices à coefficients réels et est le sous-ensemble de composé des matrices réelles symétriques. On notera la matrice transposée de et la matrice identité. Par abus de notation, on identifiera au vecteur à une ligne et une colonne .

Les coordonnées d'un -uplet de réels (considéré comme vecteur ligne) seront notées .

Si est un -uplet de réels, est le -uplet obtenu à partir de par permutation de ses coordonnées de sorte que . Autrement dit, il s'agit du -uplet obtenu en ordonnant dans l'ordre décroissant les coordonnées de . Par exemple, si , .

L'ensemble des valeurs propres d'une matrice de sera appelé, comme à l'habitude, spectre de . On notera l'application de dans qui à une matrice symétrique associe le -uplet (appelé spectre ordonné) de réels dont les cordonnées sont les éléments ordonnés dans l'ordre décroissant du spectre de (répétés autant de fois que leur ordre de multiplicité). Ainsi, par exemple, si le spectre de la matrice vaut , on a .

Pour , on pose

On admet qu'il s'agit d'une norme sur .

1a. Rappeler pourquoi est un espace vectoriel réel et quelle est sa dimension. Pourquoi l'application est-elle bien définie sur ?

1b. L'application est-elle linéaire? Justifier votre réponse.
1c. Si , exprimer en fonction des coordonnées de .

1d. Soit une matrice de . Calculer .
2a. Soit , on note son spectre ordonné. Montrer qu'il existe une base orthonormée de telle que

Une telle décomposition de sera appelée dans la suite résolution spectrale de .
2b. Calculer

en fonction des coordonnées de . Cette borne supérieure est-elle atteinte? (On pourra décomposer et sur la base orthonormée de la question 2a).

2c. Les notations sont celles de la question 2a. Soit un entier, . On note le sous-espace vectoriel de engendré , et celui engendré par . Montrer les égalités

3a. Soient et deux sous-espaces vectoriels de tels que

Montrer que ne se réduit pas à .
3b. Soit , on note . Soient un entier, , et un sous-espace vectoriel de de dimension . Montrer que

(On pourra utiliser les questions c et , en choisissant .)
3c. En reprenant les notations de la question , en déduire que

Cette borne supérieure est-elle atteinte?
4. Soient et deux -uplets de réels. On note

4a. Soient telles que . Montrer que .
4b. Montrer que pour toute matrice .
4c. Soit , on note et . Montrer que

4d. Conclure que la fonction est continue.
5. On note l'ensemble des matrices symétriques dont toutes les valeurs propres sont simples.

5a. Soit . Déterminer un réel tel que la boule ouverte de centrée en et de rayon soit incluse dans . En déduire que est un ouvert de .

5b. Montrer que la première composante de est de classe sur , mais pas sur . (On pourra utiliser la question 1d.)

Dans toute cette partie, on considère deux matrices symétriques réelles et leur somme . On note et .

6a. Montrer que

6b. Montrer que .
6c. Montrer que .
7a. Soient et trois sous-espaces vectoriels de tels que

Montrer que ne se réduit pas à .
7b. En utilisant des résolutions spectrales de et , montrer que si les entiers strictement positifs et vérifient , on a

En déduire pour tout entier ,

8a. Démontrer que .
8b. Soient et des entiers positifs tels que et des réels. On définit et la fonction de dans définie par

Démontrer que pour tout ,

En déduire que

8c. Montrer que, plus généralement qu'en 8a, on a pour tout entier

8d. En déduire que pour tout entier

où est l'ensemble des familles orthonormales de cardinal dans .
8e. En conclure que l'on a pour tout entier

Dans toute cette partie, on étudie le cas . Pour deux réels et tels que , on note :

On fixe et , quatre réels vérifiant la relation

On cherche à identifier l'ensemble

autrement dit, l'ensemble des spectres possibles de somme de deux matrices symétriques réelles de spectres respectifs donnés.
9. Montrer que est inclus dans un segment de droite de longueur , et dont on précisera les extrémités. On pourra étudier d'abord le cas où et sont diagonales.

10a. Montrer que

10b. Déterminer une fonction continue définie sur dont l'image vaut .
10c. Montrer que .