J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Version interactive avec LaTeX compilé

Télécharger PDF

X ENS Mathématiques PC 2017

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Algèbre linéaireRéductionTopologie/EVN
Logo x-ens
🔗 Explorer
Banque
X-ENS
Année
2017
Filière
PC
Matière
Maths
X-ENS PCX-ENS 2017PC MathsMaths 2017
2025_08_29_f35f93bb8a5df2bdedd3g

ÉCOLE POLYTECHNIQUE - ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

COMPOSITION DE MATHEMATIQUES (XEULC)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Dans le problème, est un nombre entier naturel supérieur ou égal à 2 et désigne l'ensemble des nombres entiers compris entre 1 et .
désigne le corps des nombres complexes. Le module d'un nombre complexe est noté .
(resp. ) désigne l'espace des matrices à lignes et colonnes, à coefficients dans (resp. dans ). La matrice transposée d'une matrice est notée .
est identifié à l'espace des matrices colonnes à lignes et à coefficients dans . Les coefficients d'un vecteur sont notés . Dans tout le problème, est muni de la norme définie par
Pour tous et , la matrice est identifiée au nombre complexe .
Le sous-espace vectoriel de engendré par un vecteur est noté .
Une matrice est dite positive (resp. strictement positive) lorsque tous ses coefficients sont des réels positifs (resp. strictement positifs). Cette propriété est notée (resp. ). Si et sont deux matrices de , on notera (resp. ) la propriété (resp. ). Ainsi, pour et dans ,
Lorsque , on utilisera la notation pour . La matrice diagonale
sera notée . On note la matrice identité d'ordre .
Pour , on pose
Une matrice sera en général identifiée à l'endomorphisme de représenté par dans la base canonique de : pour . On appelle spectre d'une matrice
, et on note , l'ensemble des valeurs propres de . Le rayon spectral de , noté , est défini comme le maximum des modules des valeurs propres de :

Première partie

  1. a) Pour toute matrice et tout nombre réel , montrer l'équivalence
b) Montrer que l'application est une norme sur .
2. Montrer que pour .
3. Soit . On note le coefficient de d'indice de ligne et d'indice de colonne . Montrer que
  1. On dit qu'une suite de matrices de converge vers une matrice lorsque
Montrer que la suite converge vers si et seulement si .
5. On considère dans cette question une matrice triangulaire supérieure,
On suppose que
Pour tout réel , on pose .
a) Calculer . Que se passe-t-il lorsqu'on fait tendre vers 0 ?
b) Montrer qu'il existe tel que
c) En déduire que la suite converge vers 0 .

Deuxième partie

  1. Déterminer le rayon spectral des matrices suivantes
  1. Dire, en justifiant brièvement la réponse, si les assertions suivantes sont exactes quels que soient .
    i) .
    ii) .
    iii) .
    iv) Pour inversible, .
    v) .
  2. Montrer que pour toute matrice ,
Dans les questions 9 à 11, on considère une matrice .
9. Montrer que si , alors la suite converge vers 0 .
10. a) Montrer que, pour tout .
b) On définit la partie de
Montrer que .
11. Montrer la formule
  1. Pour de coefficients , on pose , où . Montrer l'inégalité

Troisième partie

Dans toute cette partie, est une matrice strictement positive de .
On se propose de démontrer les propriétés suivantes.
(i) est une valeur propre de et toute autre valeur propre de vérifie .
(ii) est une racine simple du polynôme caractéristique de et est engendré par un vecteur dont toutes les composantes sont strictement positives.
(iii) Si est un vecteur propre de dont toutes les composantes sont positives, alors .
(iv) Pour tout vecteur positif non nul , il existe tel que .
13. Soient des nombres complexes. Montrer que si
alors le vecteur est colinéaire au vecteur .
14. Soient . Montrer que si , alors on a l'implication suivante
  1. On suppose qu'il existe un réel positif et un vecteur positif non nul tels que .
    a) Montrer que pour tout entier naturel . En déduire que .
    b) Montrer que si , alors .
    c) On suppose à présent que dans le système d'inégalités , la -ième inégalité est stricte, c'est-à-dire
Montrer qu'il existe tel que, en posant si et , on a . En déduire que .
16. Soit une valeur propre de de module et soit un vecteur propre de associé à . On définit le vecteur positif non nul par pour .
a) Montrer que , puis que
b) En déduire que et
c) Montrer que est colinéaire à . En déduire que .
La propriété (i) est démontrée.
17. En appliquant les résultats précédents à la matrice , on obtient l'existence de , dont toutes les composantes sont strictement positives, tel que . On pose
a) Montrer que est un sous-espace vectoriel de stable par , et que
b) Montrer que si est un vecteur propre de associé à une valeur propre , alors . En déduire la propriété (iii).
18. a) On note l'endomorphisme de défini comme la restriction de à . Montrer que toutes les valeurs propres de sont de module strictement inférieur à . En déduire que est une racine simple du polynôme caractéristique de et que
La propriété (ii) est démontrée.
b) Montrer que si .
c) Soit un vecteur positif non-nul. Déterminer la limite de lorsque tend vers .
La propriété (iv) est démontrée.
X ENS Mathématiques PC 2017 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa