X ENS Mathématiques PC 2020

ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D’ADMISSION 2020

LUNDI 20 AVRIL 2020-8h00-12h00 FILIERE PC - Epreuve

MATHEMATIQUES
(XEULC)

Dans tout le problème, pour tout tel que , on notera l'ensemble des entiers compris entre et .

Soient deux entiers strictement positifs. On note l'ensemble des matrices à coefficients réels de taille ( lignes et colonnes). Lorsque , on notera l'ensemble des matrices carrées de taille .

Pour tout , désignera la transposée de . Un vecteur pourra être identifié à un vecteur colonne de et sera le vecteur ligne associé de .

Pour tous , on note la matrice de définie pour tous et par :

où pour toute matrice désigne le coefficient de la ligne et de la colonne .
Pour tout , on définit la matrice telle que pour tous et puis par récurrence, pour tout .

Enfin, on dira qu'une matrice est symétrique positive si et pour tout . L'ensemble des matrices symétriques positives de sera noté .

Les parties III et IV sont indépendantes des parties I et II et la partie V dépend des parties précédentes.

(1) Montrer que pour toutes matrices et dans et tous réels positifs et , on a
(2) Montrer que si alors la matrice définie par est dans .
(3) (a) Montrer que pour tous , on a .
(b) Soit . On note les valeurs propres (avec multiplicité) de et ( ) une famille orthonormale de vecteurs propres associés. Montrer que pour tout et que .
(c) En déduire que si alors .

Pour et , on note la matrice définie par pour tout .
(4) Soient et défini par où pour tout un polynôme à coefficients positifs.
(a) Vérifier que pour toute matrice .
(b) Montrer que si alors .

On pose, pour tout et tout où désigne la factorielle de .
(5) Soit .
(a) Montrer que pour tout , on a

(b) Montrer que .
(c) Soit . Montrer que .
(6) Soit . On considère un -uplet d'éléments de et la matrice

où désigne le produit scalaire usuel entre deux vecteurs et de . On notera la norme de .
(a) Montrer que .
(b) On note le vecteur de coordonnées . Montrer que pour tout .
(c) Soient et la matrice définie pour tout . Montrer que .

Soit fixé. On considère ici l'espace des fonctions continues de dans . Dans toute la suite, on désigne par le sous-espace vectoriel de ) (on ne demande pas de vérifier ce fait) défini par

Pour tout , on note l'application définie pour tout par

pour tout . Enfin on définit la fonction par

(7) Pour tout , montrer que est intégrable sur .

Pour tous , on définit

(8) (a) Montrer que pour tout , on a avec égalité si et seulement si .
(b) Montrer que pour tout appartient à .
(9) (a) Soit . Montrer qu'il existe tel que pour tout on a

Indication : On pourra montrer l'égalité

(b) Soit . On considère définie pour tout par

Montrer que .
(c) Montrer que définit un endomorphisme de .

Soit fixé. On considère maintenant l'ensemble des fonctions s'écrivant sous la forme où est un entier strictement positif et est une famille d'éléments de :

On notera l'image de par l'endomorphisme introduit dans la question (9b).
(10) Montrer que est un sous-espace vectoriel de et que c'est le plus petit sous-espace vectoriel de qui contient toutes les fonctions pour arbitraire.
(11) (a) Montrer qu'il existe telle que pour tout on a

Indication : On pourra remarquer que .
(b) En déduire que pour tout

et que

(12) (a) Soient et une famille de réels telle que pour tous on a lorsque . Montrer que la fonction est nulle si et seulement si pour tout (Indication : On pourra procéder par récurrence sur ).
(b) En déduire qu'il existe une unique application linéaire de dans telle que pour tout et pour tout .
(c) Montrer que pour tout , on a pour tout que .
(13) Pour tout , on note où est introduit dans la question (11a).
(a) Vérifier que définit un produit scalaire sur .
(b) Montrer que pour tous et on a .
(c) Montrer que pour tout on a

où on a posé et .

On fixe dans cette partie deux -uplets et de réels. On suppose que les sont deux à deux distincts. On note l'ensemble des qui valent en pour tout (on dira qu'une telle fonction est une interpolante). On note défini par et .

On veut montrer dans cette partie qu'il existe une unique interpolante qui atteint le minimum de c'est-à-dire telle que . On notera .
(14) Montrer a au plus un élément.
(15) Soient et (on suppose ici non vide).

Montrer que pour tout .
(16) On note le sous-espace orthogonal à dans .
(a) Montrer que .
(b) Montrer que contient le sous-espace vectoriel de engendré par les fonctions pour .
(17) Soient (resp. ) le vecteur de coordonnées (resp. ) et .
(a) Montrer que est une interpolante si et seulement si où est la matrice introduite dans la question (6) (ici dans le cas ).
(b) Montrer que est inversible.
(18) En déduire qu'il existe tel que et calculer la valeur de en fonction de et .