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X ENS Mathématiques PC 2023

Modèles matriciels de dynamique de populations

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensRéductionSéries et familles sommablesTopologie/EVN
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X-ENS
Année
2023
Filière
PC
Matière
Maths
X-ENS PCX-ENS 2023PC MathsMaths 2023
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ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2023

LUNDI 17 AVRIL 2023
08h00-12h00
FILIERE PC - Epreuve
MATHEMATIQUES (XEULS)
Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Notations

L'objectif du problème est l'étude de modèles matriciels de dynamique de populations. Nous l'illustrerons avec des populations structurées en âge.
Soit . Pour des vecteurs de (qui pourront être des vecteurs lignes ou colonnes dans la suite), on note
les normes 1 et 2 usuelles et
le produit scalaire canonique sur .
On note l'ensemble des nombres réels positifs ou nuls et l'ensemble des nombres réels strictement positifs.
Si et sont deux éléments de et si est une partie de , on note l'ensemble des matrices à lignes et colonnes et dont les coefficients sont dans . Lorsque , on note l'ensemble .
Les parties 1, 2, 3 et 4 sont dépendantes. Dans l'ensemble du sujet, pour répondre à une question, on pourra admettre les résultats des questions précédentes.

Première partie

Soit l'ensemble des vecteurs lignes de taille à coefficients positifs dont la somme des coordonnées vaut 1 :
On considère une matrice carrée telle que pour tout ,
On suppose de plus qu'il existe et tels que pour tous ,
  1. Justifier que .
  2. Montrer que si , alors .
  3. Montrer que pour tous ,
(On pourra introduire où avec pour tous .)
4. Soit définie par récurrence par et
Montrer que la série est convergente.
5. En déduire que converge vers un élément de .
6. Montrer qu'il existe un unique élément de tel que .
7. Montrer que pour tout et tout ,

Deuxième partie

Soit . On suppose que la matrice possède une valeur propre et qu'il existe vecteur colonne tel que :
On suppose aussi qu'il existe et tels que pour tous ,
On introduit la matrice définie pour par
  1. Justifier que pour tout .
  2. Soit . Donner une expression des coefficients de en fonction des coefficients de et .
10a. Montrer qu'il existe et , tels que et pour tout ,
10b. Prouver qu'il existe un unique tel que .
11. Considérons et le polynôme
Montrer que le polynôme possède une unique racine dans .
Considérons et et introduisons la matrice
12a. Justifier qu'il existe un unique couple tel que . On exprimera explicitement en fonction de et et .
12b. Montrer qu'il existe un unique tel que et
12c. En déduire que la suite converge quand tend vers l'infini et donner une expression de sa limite en fonction de et .

Troisième partie

Dans toute la suite du sujet, ( ) désigne un espace probabilisé sur lequel seront définies les différentes variables aléatoires du sujet. On admettra que toutes les variables aléatoires introduites peuvent bien être construites sur cet espace. On notera la probabilité d'un événement et l'espérance d'une variable aléatoire sur ( ) à valeurs réelles. On note également la variance d'une telle variable aléatoire. Si est un évènement, on notera la variable aléatoire définie comme la fonction indicatrice de cet évènement.
On suppose que pour tous est une variable aléatoire à valeurs dans et telle que est d'espérance finie. Pour tout , on introduit la variable aléatoire à valeurs dans :
On considère maintenant une famille de variables aléatoires indépendantes à valeurs dans :
De plus, pour tous et , on suppose que a même loi que . Soit une variable aléatoire à valeurs dans telle que est d'espérance finie pour tout . Partant de cette valeur initiale, nous définissons par récurrence pour une suite de variables aléatoires :
La variable pourra s'interpréter comme le nombre d'individus de type i à la génération n et comme le nombre d'enfants de type pour le -ième individu de type i à la génération .
On introduit la matrice définie pour par
On introduit défini pour et par
13a. Montrer que, pour tous et ,
(On pourra utiliser sans démonstration le fait que les variables aléatoires et sont indépendantes.)
13b. En déduire que, pour tout ,
  1. Soit un ensemble fini et une famille de variables aléatoires indépendantes deux à deux, à valeurs réelles et dont les carrés sont d'espérance finie. Montrer que
Pour , on note le vecteur défini par
15a. Montrer que pour tous et ,
(On pourra utiliser sans démonstration le fait que, pour tout , les variables aléatoires sont deux à deux indépendantes lorsque et varient.)
15b. Montrer que pour tous et ,
  1. Montrer que pour tout ,
(avec la convention que la somme indexée par est nulle si ).

Quatrième partie

On utilise les notations de la partie précédente. En particulier le symbole désigne la matrice introduite dans la troisième partie. On suppose maintenant qu'il existe une valeur propre et un vecteur propre colonne associé :
et qu'il existe et tels que pour tous ,
  1. Montrer qu'il existe et et et , tels que et pour tout ,
  1. On suppose, dans cette question uniquement, que . Montrer alors que tend vers 0 quand tend vers l'infini et . On dit que la population s'éteint presque surement en temps fini.
19a. Montrer qu'il existe tel que pour tout , on a .
19b. En déduire l'existence de tel que pour tout , on a .
20a. Montrer que pour tous et tel que ,
20b. En déduire qu'il existe tel que pour tous et vecteur colonne tel que ,
On suppose dans le reste de cette partie que et on introduit le vecteur ligne aléatoire
21a. Montrer que la série converge.
21b. Soit et soit . Montrer que
et que le vecteur est orthogonal à .
21c. Montrer que la série est convergente. En déduire que la suite tend vers 0 . (On pourra par exemple décomposer dans une base orthonormale bien choisie de .)
21d. Montrer que pour tout ,
  1. Montrer que l'évènement est presque sûr. (On pourra commencer par calculer la probabilité de l'évènement
pour tout .)
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