Pour les épreuves d'admissibilité, l'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé, une seule à la fois étant admise sur la table ou le poste de travail, et aucun n'échange n'est autorisé entre les candidats.

Pour tout entier , on note l'espace vectoriel des fonctions de classe sur à valeurs complexes. Soit un réel strictement positif. On définit l'espace vectoriel par

et pour ,

On munit l'espace vectoriel du produit scalaire hermitien ( ) et des normes et définies comme suit :

Etant donné , on pose pour tout et ,

Le but de ce problème est d'étudier les propriétés de l'opérateur défini sur en fonction de la régularité et de l'intégrabilité de .

I. 1 Soit à valeurs réelles, telle qu'en tout point soit continue à droite ou continue à gauche. On suppose que pour toute fonction dans à valeurs réelles satisfaisant , on a . Montrer que .
I. 2 Montrer que si , alors .
I. 3 Soit définie sur par si , et si . Soit , et définie sur par

I.3.1 Exprimer à l'aide de la fonction .
I.3.2 Montrer que appartient à .
I. 4 Montrer que si , alors .
I. 5 Etude des propriétés de régularité de :
1.5.1 Soient et . Montrer que .
1.5.2 Soient et . Montrer que .
I. 6 Etant donnée , on introduit ses coefficients de Fourier

Montrer que pour , on a

I. 7 Soit et donnés.
I.7.1 Montrer que Card est fini.
I.7.2 étant considéré comme un endomorphisme de , montrer que est de dimension finie.
I.7.3 Soit un sous-espace vectoriel de de dimension finie, stable par , tel que la restriction de à soit diagonalisable. Caractériser .
I. 8 Existe-t-il tel que soit bijective de sur ?
I. 9 Soit . Montrer que

Dans cette partie, on étudie les propriétés de la famille d'endomorphismes de , où est la fonction à valeurs réelles impaire satisfaisant

On introduit la suite définie par

II. 1 Calculer la norme

et en déterminer un équivalent lorsque tend vers 0 .
II. 2 Soit et tel que .

Pour tout tel que , on note

Montrer que converge uniformément sur (on note Af sa limite). Montrer que est une application linéaire de dans .
II. 3 Etant donnée , calculer les coefficients de Fourier de en fonction des , et des coefficients de Fourier de .
II. 4 Etude de la suite :
II.4.1 Montrer que la suite est croissante, puis que est décroissante.
II.4.2 Montrer l'existence de tel que converge vers lorsque tend vers .
II.4.3 En déduire que

II. 5 Calculer

II. 6 Soit . Constuire une suite d'éléments de telle que converge vers en movenne quadratique dans et

Peut-on en déduire un résultat de convergence en moyenne quadratique pour la suite ?