Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Préambule

Dans ce problème, on désigne par

l'ensemble des nombres réels. On note

. On note

l'ensemble des entiers relatifs.

est un réel, on note

le plus grand entier relatif inférieur ou égal à

.
Pour tout couple (

) d'entiers supérieurs à 1 , on notera

l'espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles sur

qui sont de classe

est une fonction de classe

sur un ouvert de

, on notera respectivement

les dérivées partielles de

par rapport à la première et la deuxième coordonnée. Si

est de classe

, on utilisera, pour tout

, la notation

. On a alors pour tout

l'égalité

sur l'ouvert où

est définie.

Pour la résolution du problème, on pourra utiliser sans démonstration tout théorème du programme qui semblera utile après s'être assuré explicitement que ses hypothèses sont vérifiées.

Première partie

Soit

un nombre réel. On considère l'équation suivante :

1.a. Soit

une solution de l'équation (A). Montrer que pour tout

, la fonction

définie par

est constante. En déduire une expression de

en fonction de

définie par

.
1.b. À tout

on associe la fonction

définie par

Montrer que l'application linéaire

qui à

associe

envoie

dans

. Montrer que

est injective et que son image est l'ensemble des solutions de (A).

On note

la fonction définie par

-ct. Soit

une partie de

.
2. a. On suppose que

ne contient aucun intervalle ouvert non vide. Montrer que tout élément de

est limite d'une suite d'éléments de

. En déduire que deux solutions de (A) qui coïncident en tout point de

sont égales.
2. b. Soient

deux réels tels que

. Montrer qu'il existe une fonction de classe

sur

qui est nulle hors de

mais qui n'est pas identiquement nulle. Indication : on pourra chercher une fonction dont la restriction à

soit polynomiale.
2. c. Montrer que si

contient un intervalle ouvert non vide, alors il existe deux solutions distinctes de (A) qui coïncident sur

.
3. a. Soit

un entier supérieur ou égal à 2 . Soient

des éléments deux à deux distincts de l'intervalle

. Montrer qu'il existe

appartenant à

tels que

.
3. b. Soit

un nombre irrationnel. Montrer que si

sont deux entiers relatifs distincts, alors

. En déduire que pour tout

, l'ensemble

contient deux éléments

tels que

, puis que

ne contient aucun intervalle ouvert non vide.
3. c. Discuter, en fonction de la valeur de la constante

, l'existence de deux solutions distinctes de (A) qui coïncident sur

On suppose désormais

. On considère l'équation suivante :

Soit

une solution de (B).
4. a. On pose

. Montrer qu'il existe une fonction

telle que

.
4. b. Montrer qu'il existe une fonction

telle que la fonction

satisfasse l'équation

.
4. c. Montrer qu'il existe des fonctions

telles que

, puis montrer que

.
4. d. Énoncer un résultat analogue à celui établi à la question 1. b. et le démontrer.
5. a. Montrer que si

sont deux solutions de (B) qui coïncident sur

et qui sont telles que

coïncident sur

, alors

. Montrer que cette conclusion n'est pas toujours vraie si l'on suppose seulement que

coïncident sur

.
5. b. Déterminer toutes les fonctions

qui sont solution de (B) et qui satisfont

et les conditions suivantes :

Deuxième partie

On considère l'équation suivante :

a. Soit un ouvert de et une solution de (C) sur . Soit ( ) un point de . Montrer qu'il existe un intervalle ouvert contenant et une fonction de classe sur telle que et telle que pour tout , on ait et .
b. Montrer que la fonction définie par est constante. Décrire la nature géométrique de l'arc .
c. Soit un intervalle ouvert contenant . Pour tout appartenant à , on pose . On suppose que pour tout , le point appartient à . On pose

Montrer que

, puis que

n'appartient pas à

. Indication : on pourra supposer le contraire et calculer

. En déduire que

est la borne supérieure de

, puis que

pour tout

dans

.
7. a. On suppose que

. Montrer que les seules solutions de (C) sont les fonctions constantes.
7. b. Déterminer toutes les fonctions de la forme

, où

sont des polynômes, qui sont solution de ( C ) sur leur ensemble de définition. Déterminer une solution non constante de (C) lorsque

.
8. a. On se donne une fonction

croissante. Montrer que pour tout

et tout

, il existe un unique réel

tel que

On admettra pour tout le reste du problème que la fonction

ainsi définie est continue, qu'elle est de classe

sur

et que ses dérivées partielles sont
données sur cet ouvert par les formules

b. Montrer que la fonction définie par est continue sur , de classe sur , qu'elle est solution de (C) sur et vérifie, pour tout , l'égalité . On notera la fonction ainsi construite à partir de .
c. Montrer que si une fonction est continue sur , de classe sur et de plus est une solution de (C) sur , alors la fonction définie par est croissante, et vérifie .
a. Soit la fonction définie par . Déterminer et comparer le résultat obtenu avec celui de la deuxième partie de la question 7. b.
b. En considérant la fonction définie par

déterminer une solution non constante de (C) sur l'ouvert

Troisième partie

Soit

une suite de réels telle que pour tout

on ait

. On définit par récurrence une suite

de polynômes en posant

puis, pour tout

Dans ce qui suit, on pourra utiliser, sans les démontrer, les inégalités

.
10. a. Soit

un entier supérieur ou égal à 2 . Montrer qu'on a l'égalité

Indication : on pourra chercher une écriture plus simple de la fonction

.
10. b. Montrer que

, puis qu'on a l'inégalité

c. Montrer que pour tout et tout , on a l'inégalité

d. En déduire que la série converge, pour ( ) appartenant à un ouvert contenant qu'on précisera, vers une fonction de classe qui satisfait l'équation

a. On suppose . Déterminer le degré de pour tout . On pourra discuter selon le signe de .
b. Pour tout , on note le coefficient dominant de . Établir une relation de récurrence satisfaite par la suite . Soit la suite définie par récurrence par et

Montrer que pour tout

, on a

.
11. c. On considère la série entière

et on note

son rayon de convergence. Montrer que

. Indication : on pourra commencer par supposer

et calculer, sous cette hypothèse, la valeur de

sur

.
11. d. Montrer que sur l'intervalle ] -

, la fonction

est solution de l'équation différentielle

e. Montrer que pour tout , il existe un unique tel que . Montrer que la fonction ainsi définie est solution de (E) sur . Exprimer en fonction de une solution de (E) qui a même valeur et même dérivée en 0 que .