Pour toute fonction définie sur un intervalle de et tout entier , on note la dérivée -ième de sur cet intervalle (si elle existe). Ainsi, etc. On convient que .
Pour tout entier , on note la factorielle de . On convient que .
Pour tous désigne l'ensemble des matrices à coefficients réels ayant lignes et colonnes. On pose . Le déterminant d'une matrice carrée sera noté . Sa transposée est notée . Lorsque on identifie au réel .
On note le -espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. Pour tout entier 0 , on désigne par le -espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à . Les polynômes de et les fonctions polynomiales associées seront notées indentiquement. Ainsi, si est un polynôme, alors la fonction polynomiale associée est encore notée .
Etant donné un -espace vectoriel de dimension finie on note l'élément nul de , et on note l'application identité de dans lui même. On note l'ensemble des endomorphismes de .
Si est un endomorphisme de et un entier naturel, on note l'application composée de avec lui même fois : ( fois). Par convention, et . Le noyau et l'image de seront notés respectivement et .
Si et sont deux sous-espaces vectoriels de , on note la somme de ces sous-espaces. On écrira pour signifier que cette somme est directe. Si, de plus, est muni d'un produit scalaire, on écrira pour signifier que la somme est orthogonale, c'est à dire que et sont orthogonaux entre eux. L'orthogonal d'un sous-espace vectoriel de sera noté . On notera la dimension de .

Partie I

Soit

un entier naturel et

-espace vectoriel de dimension

. Cet espace est muni d'un produit scalaire (.|.). Soient

deux endomorphismes de

vérifiant les hypothèses suivantes :
(H1)

.
(H2)

.
(H3)

.
(H4)

.
On pose dans la suite

On considère l'application

dans

définie par

et on note

l'ensemble des éléments

vérifiant les deux propriétés suivantes :
(a)

,
(b)

Pour tout vecteur , on pose

(a) Montrer que

.
(b) Montrer que

.
(c) Montrer que

et que

En déduire que

sont stables par

.
2. Montrer que pour tout

.
3. En déduire que pour tout

, on a

En déduire aussi que pour .
Soit et tel que . Après avoir justifié l'existence d'un tel vecteur , montrer que .
Montrer que pour tout nombre réel , l'endomorphisme est bijectif et que

où

désigne l'endomorphisme inverse de

.
7. Montrer que

est un sous-espace vectoriel de

et que

.
8. En déduire que l'application (

) est un produit scalaire sur

.
9. Soit

.
(a) Montrer que

.
(b) En déduire que

sont stables par

.
10. Montrer que l'une des deux assertions suivantes est vraie : (i)

.
11. On suppose ici que

.
(a) Montrer que

.
(b) Montrer que

et que

.
(c) Soit

avec

. Montrer que

et que

.
(d) Soit

avec

. Montrer que

et que

.
12. On dit désormais qu'un couple

est une paire caractérisante de

vérifient les trois propriétés :
(A)

,
(B)

,
(C)

pour

Déduire des questions précédentes l'existence d'une paire caractérisante de

.
13. En déduire que

.
14. On suppose que

vérifie l'hypothèse suivantes

Montrer que si (

) est une paire caractérisante de

alors (

) constitue une base de

Partie II

On conserve toutes les notations de la partie I et on suppose que les hypothèses

, (H4) et (H5) sont toutes satisfaites. Soit (

) une paire caractérisante de

(c'est à dire vérifiant les propriétés

de la question 12

.
Pour tout

, on considère le problème suivant, note

et on note

l'ensemble des solutions

de ce problème. On montre facilement que

est un sousespace vectoriel de

.
15. Soit

.
(a) Montrer que si

admet une solution

, alors nécessairement

.
(b) Soit

. Montrer que

est une solution de

si et seulement si

En déduire qu'il existe deux nombres réels

tels que :

admet une solution non nulle si et seulement si

où pour

est le polynôme

(d) Supposons que

est racine du polynôme produit

. Montrer que

est racine commune de

et de

, et

sinon.
(e) Montrer que

Soit , où , une base de . Pour tout élément de , on note (lettre majuscule) le vecteur colonne comportant les coordonnées de relativement à la base . On note et les deux matrices carrées dont les coefficients sont définis par

(a) Soient

. Montrer que

et en déduire que

sont inversibles.
(b) Soit

. Montrer qu'un élément

est solution de

si et seulement si

En déduire que

admet une solution non nulle si et seulement si

.
(c) On définit la fonction

sur

par

Montrer que cette fonction

est indépendante du choix de la base

.
(d) Justifier pourquoi on peut choisir la base

de sorte que

. En déduire que

est une fonction polynomiale dont on précisera le degré.
(e) Montrer que le polynôme

est scindé dans

et que ses racines sont soit simples soit doubles.
(f) Montrer que

(on justifiera pourquoi nécessairement le dénominateur est non nul).
En déduire que

sont scindés dans

et à racines simples.

Partie III

On conserve ici les notations des parties I et II et on se place dans le cas particulier où

, avec

un entier naturel fixé. Cet espace vectoriel est muni du produit scalaire

Désormais, les deux endomorphismes

seront définis par

où

.
On pose pour tout

Montrer que et vérifient bien les hypothèses ( ), ( ), ( ) et ( ).
Quels sont les espaces et dans ce cas ?
Montrer que

Déterminer le sous-espace . L'hypothèse est-elle satisfaite?
On définit pour tout entier naturel le polynôme comme suit

et on pose désormais

Soit

.
(a) Quel est le degré du polynôme

? Exprimer

en fonction de

.
(b) Montrer que si

alors

tel que

, on a

(d) Montrer que pour tout entier naturel

, on a

Montrer que le couple ( ) est une paire caractérisante de .
Soit . On considère le problème : trouver tel que

Montrer que ce problème admet une solution

non identiquement nulle si et seulement si

est racine du polynôme

Montrer que

avec inégalité stricte si

est non nul.
25. En déduire que les racines de

sont toutes réelles et appartiennent à l'intervalle

.
26. Soit (

) une base quelconque de

. On considère les deux matrices carrées

définies par

Déterminer le rapport

en fonction de