Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Notations

Dans tout le texte, on adopte les notations suivantes :

Pour tous entiers naturels , on note l'ensemble des entiers naturels vérifiant .
Pour tout entier , on pose la factorielle de . On convient que .
Soit ou . Pour tous et désigne l'ensemble des matrices à coefficients dans ayant lignes et colonnes. Si et , on note le coefficient de appartenant à la -ème ligne et à la -ème colonne. La matrice transposée de est notée et sa matrice conjuguée est notée . Les coefficients de sont donnés par

On pose

, et on note

la matrice identité de

la matrice nulle de

. Le déterminant d'une matrice carrée

sera noté

. Pour tout

, on note

la puissance

-ème de

et on convient que

.
Quand

, on identifie la matrice

à son unique coefficient

Soit ou . On note le -espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. Si , on note le degré de . Pour tout désigne la dérivée -ème de . On convient que . Pour tout entier , on désigne par le -espace vectoriel des polynômes à coefficients dans et de degré inférieur ou égal à .
Soit ( ) un espace probabilisé. Toutes les variables aléatoires de cet énoncé sont définies sur cet espace.

Dans toute la suite de cet énoncé,

désigne un entier naturel. Pour toute matrice

, on note

l'ensemble des valeurs propres complexes de

et on pose

On note

l'ensemble

(c'est-à-dire l'ensemble des polynômes de

non nuls et annulateurs de

).
Pour toute suite

de nombres complexes, on adopte les notations suivantes

on note le rayon de convergence de la série entière et son disque ouvert de convergence défini par

pour tout , on note (avec lettre majuscule) la somme

On convient que et on note la suite définie par

Plus généralement pour tout entier naturel

, on pose

Pour tout

et tout

on pose

Si est une autre suite de nombres complexes, on note la suite et la suite de terme général donné par

On dit qu'une matrice

est compatible avec

On note

l'ensemble de toutes les matrices de

compatibles avec

Les parties III et IV de cet énoncé sont majoritairement indépendantes.

Partie I : préliminaires

Soit

une suite de nombres complexes.
(1) Donner une condition nécessaire et suffisante sur

pour que

et donner un exemple de

pour laquelle on a cette égalité.
(2) Montrer que

.
(3) Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes
(i)

,
(ii)

,
(iii)

,
et donner un exemple de suite

vérifiant ces trois assertions et telle que

pour tout

.
(4) Soit

. Montrer l'équivalence des deux assertions suivantes
(i)

pour toute suite

vérifiant

.
(ii)

est nilpotente (c'est-à-dire il existe

tel que

).
(5) Montrer que pour tout entier

, on a

(6) Soit

une autre suite de nombres complexes. Montrer que

(7) On suppose dans cette question que

. Soient

deux matrices symétriques telle que

. Montrer que

Partie II : Fonctions de matrices

Soit

une suite de

telle que

. Soit

.
(8) Montrer que

est non vide.
(9) Soit

Montrer qu'il existe un et un seul polynôme

vérifiant les trois conditions
(i)

,
(ii)

,
(iii)

unitaire.

On note désormais

ce polynôme.
(10) Soit

. Montrer que

divise

.
(11) Montrer que les racines de

dans

sont exactement les valeurs propres de

.
(12) Montrer que si

alors

est à coefficients réels (c'est-à-dire

On note désormais

les valeurs propres de

, avec

. On note

les multiplicités de

respectivement en tant que racines de

. Ainsi on a

avec

(13) Montrer que l'application

est un isomorphisme et en déduire qu'il existe un et un seul polynôme

tel que

Dans toute la suite, on pose

(14) Soit

. Montrer que

si et seulement si

(15) Soit

tel que

. Montrer que

(16) On suppose dans cette question uniquement que

. Déterminer

dans le cas suivant :

où

sont des réels fixés avec

. On exprimera les coefficients de

en fonction

.
(17) Soit

.
(a) Montrer qu'il existe un polynôme

tel que

(b) On suppose que

. Montrer que

(18) Soit

une autre suite de

telle que

. On suppose dans cette question uniquement que les valeurs

sont réelles. Montrer que

(après avoir justifié que

Partie III : cas de matrices diagonalisables

Soit

une suite de

telle que

. Soit

. On suppose dans toute cette partie que

est diagonalisable dans

et on note

ses valeurs propres avec

.
(19) Montrer que

(20) Pour tout

on définit le polynôme :

(on notera que les polynômes

dépendent de la matrice

).
(a) Montrer que

(b) Montrer que pour tout

est une projection dont on précisera l'image et le noyau.
(c) En déduire que

(21) Soit

une matrice inversible. Montrer que

(22) Soit

une matrice diagonale et

une matrice inversible telles que

.
(a) Montrer que

est diagonale et que

(b) En déduire une expression de

Partie IV : application À des cas particuliers

Dans cette partie, on suppose que

. Soit

une suite de

vérifiant la condition

(23) Soit

la matrice donnée par

(a) Déterminer le polynôme

dans ce cas.
(b) Soit

où

est tel que

. Montrer que

et en déduire que

(24) Soit

la matrice définie par

où

sont deux vecteurs colonnes tels que

.
(a) Montrer que

est de rang 1 et donner son image.
(b) Montrer que 0 et

sont les seules valeurs propres de

.
(c) En déduire que

.
(d) Déterminer

quand

.
(e) En déduire que si

alors

(f) Déterminer une expression simple de

quand

.
(25) Soit

la matrice définie par

où

(ici

désigne le nombre complexe usuel vérifiant

).
(a) Montrer que

est inversible et que

.
(b) Montrer que

.
(c) En déduire que

et que

.
(d) En déduire que

(26) On suppose que pour tout

où

est une variable aléatoire à valeurs dans

.
(a) On suppose que

suit une loi binomiale de paramètres (

). Vérifier que

satisfait la condition

et trouver une expression simple de

pour tout

.
(b) On suppose que

suit un loi géométrique de paramètre

. Vérifier que

satisfait la condition

et montrer que

pour toute matrice

diagonalisable.