L'objet de ce problème est l'analyse d'un propulseur électromagnétique capable d'accélérer de petites masses de l'ordre du gramme et de les éjecter à des vitesses supersoniques de l'ordre de plusieurs kilomètres par seconde. Dans la première partie, on en étudie le principe et on évalue les ordres de grandeur des paramètres cruciaux. La poussée sur le projectile est en fait exercée par un plasma; ses propriétés et son action sont analysées dans la seconde partie. Enfin, la troisième et dernière partie est consacrée à une étude dynamique sur un modèle électromécanique du système.

Les trois parties sont largement indépendantes. Dans tout le problème, on se placera dans l'approximation des régimes quasi-permanents (A.R.Q.P.) .

Données numériques

Résistivité du rail (cuivre)
Longueur du rail
Distance entre les deux rails
Hauteur effective des rails
Résistance du rail par unité de longueur
Intensité initiale
Inductance du circuit de stockage
Résistance du circuit de stockage
Résistance du plasma
Conductivité électrique moyenne du plasma
Masse du plasma
Masse du projectile
Masse molaire du cuivre
Constante des gaz parfaits
Perméabilité magnétique du vide (et du plasma)
Constante d'Avogadro

Première partie

Principe et ordres de grandeur

A - Un circuit électrique rigide est caractérisé par sa résistance

et son inductance

. Soit

l'intensité du courant qui le parcourt.

Exprimer le flux magnétique propre à travers le circuit. En déduire la force électromotrice d'autoinduction.
Lors de l'établissement du courant de 0 à , le générateur doit fournir, en plus de l'énergie «dissipée » par effet Joule, une énergie supplémentaire appelée «énergie magnétique ». Exprimer en fonction de et de .

Figure 1

B - Le circuit possède maintenant une partie mobile constituée d'un barreau pouvant glisser sans frottement le long de deux rails parallèles de direction

(fig.1). On désignera par

son déplacement et par

sa vitesse. L'inductance du circuit dépend alors de

, soit

Lorsqu'un courant électrique parcourt le circuit, le barreau se met en mouvement. Expliquer brièvement pourquoi.
Exprimer à l'instant la puissance fournie par le générateur en sus de celle dissipée par effet Joule.
Une partie de cette puissance correspond à la variation de l'énergie magnétique où est donnée par l'expression trouvée en A-2; l'autre partie est la puissance mécanique $é$ donnée au barreau. Exprimer $é$ en fonction de et .
En déduire que la force qui s'exerce sur la barreau a pour expression : .

C - On désire évaluer un ordre de grandeur de l'inductance par unité de longueur des rails

Figure 2

On considère d'abord deux plans conducteurs infinis, parallèles au plan et espacés de (fig.2). Ils portent chacun une densité surfacique de courant uniforme, pour le plan et pour l'autre en .
a) Montrer par un argument de symétrie clairement explicité qu'en tout point le champ magnétique créé par cette distribution de courant est dirigé selon .
b) Montrer que ce champ est uniforme dans chaque région délimitée par les plaques, nul à l'extérieur, et donner alors son expression entre les plaques en fonction de .
Les rails sont modélisés comme deux conducteurs plans et minces de hauteur finie selon , ils sont parcourus chacun par l'intensité .
a) Calculer la densité surfacique de courant associée. En faisant l'approximation que les expressions obtenues en C-1 sont valables, déterminer le flux magnétique par unité de longueur selon entre les plaques en fonction de et . En déduire l'inductance par unité de longueur .
b) Application numérique : calculer avec les données rassemblées au début du problème.

D - On désire qu'en partant avec une vitesse nulle, une masse de trois grammes atteigne une vitesse d'éjection de

après un parcours de 3 m . En supposant la force

de la question B-4 constante et en prenant la valeur de

obtenue en

), déterminer numériquement l'intensité

nécessaire.

Deuxième partie

Accélération du projectile par un plasma

En réalité, dans le propulseur électromagnétique, le projectile (un morceau de résine isolante) porte sur sa face arrière de minces feuilles de cuivre, qui fondent rapidement et se vaporisent
lorsque elles sont traversées par un courant de très forte intensité ; on est alors en présence d'un plasma (gaz ionisé conducteur, localement neutre). La température de ce plasma est suffisamment élevée pour que tous les atomes de cuivre soient ionisés (

). Dans cette partie, on suppose qu'un régime permanent s'est établi, c'est à dire que la longueur

selon

du plasma reste constante et que les accélérations de chacune de ses parties sont identiques à l'accélération

du projectile (voir figure 3 ).

Figure 3

On note

l'abscisse relative d'un point au sein du plasma (

) et l'on suppose que toutes les grandeurs ne dépendent localement que de

. On note

la pression et la masse volumique au sein du plasma à l'abscisse

. On admet enfin que tous les effets de bord sont négligeables, ce qui conduit à poser qu'au sein du plasma, le champ magnétique, le champ électrique et la densité volumique de courant sont respectivement de la forme

A - On considère une tranche de plasma, d'épaisseur d

, localisée à l'abscisse

Quelle est la force d'origine magnétique qui s'exerce sur cette tranche? Comment est-elle orientée?
Quelle est la résultante des forces de pression qui s'exercent sur la tranche?
Ecrire en projection sur le théorème de la résultante cinétique pour la tranche.
La pression en est la pression atmosphérique .
a) En déduire sous forme intégrale la pression à l'extrémité du plasma en .
b) Montrer que, sans autre hypothèse,

où

est la masse du plasma,

la masse du projectile et

la section transverse du propulseur.

B-1. Quelle est dans l'A.R.Q.P. la relation entre le champ magnétique et la densité volumique de courant?
2. En déduire que la force résultante exercée sur le système plasma-projectile est

, en prenant le champ magnétique nul au niveau du projectile.
3. Montrer qu'on retrouve un résultat identique à celui de la question B-4 de la première partie, dans le cadre de la modélisation utilisée dans la section

de cette partie.

- Application numérique : à partir des données rassemblées au début du problème, calculer

et la masse volumique moyenne

du plasma. En déduire le nombre moyen

de particules par unité de volume. Estimer la température au voisinage du projectile en supposant que le gaz ionisé se comporte localement comme un gaz parfait.

Troisième partie

Modèle électromécanique du propulseur

On a représenté figure

le schéma électrique du propulseur, avec ses deux rails parallèles. Lorsque l'interrupteur

est fermé, une dynamo engendre un fort courant à travers le circuit (

). Lorsqu'on atteint, à l'instant

, le courant désiré

, on ouvre

. Le projectile, situé sans vitesse initiale en

à l'extrémité du rail, est alors accéléré ; on notera respectivement

position, vitesse et accélération du projectile, et

l'intensité à travers le circuit à l'instant

. Le circuit électrique équivalent dans cette phase est représenté en figure

, où l'on a fait figurer la résistance

du plasma qui « pousse » le projectile ainsi que la résistance

et l'inductance

des rails définies toutes deux par unité de longueur. On prendra dans cette partie

Figure 4a

Figure

A - On suppose dans ce qui suit que seule la force d'origine électromagnétique trouvée dans la question B-4 de la première partie s'exerce sur le projectile.
1.a) Pourquoi parle-t-on d'impédance de «stockage » pour

?
b) Pourquoi alors n'avoir pas choisi une capacité à la place de l'inductance ?
c) Quel est le rôle de la diode de la figure

? On supposera par la suite que la diode présente une caractéristique idéale.
2.a) Exprimer la f.é.m du circuit déformable. Ecrire l'équation électrique

du circuit.
b) Ecrire l'équation (

) du mouvement du projectile. On note

respectivement les masses du plasma et du projectile, et on pose

.
c) Quelles sont les conditions initiales pour les deux équations précédentes? Existe-t-il alors une solution stationnaire à ces équations?

B - On se place dans le cas simple où

est « très grande ».

Justifier physiquement que dans ce cas.
On pose . Donner puis en fonction de et de .
Application numérique : Calculer, avec les données du problème, la durée d'accélération et la vitesse d'éjection du projectile pour un rail de longueur .

C - Dans cette question, on s'intéresse au rendement énergétique du propulseur électromagnétique. On revient au cas général où l'intensité

varie au cours du temps.

Quelle est l'énergie délivrée depuis par l'inductance de stockage au reste du circuit et au projectile?
Montrer par ailleurs que les équations et permettent sans approximation d'obtenir :

équation dont on interprétera chacun des termes.
3. En se plaçant dans le cadre de l'approximation utilisée en B-1 et B-2, comparer les deux premiers termes de

. Exprimer le troisième terme en fonction de

.
4. Application numérique.
a) Calculer chacun des trois termes pour

en utilisant les valeurs obtenues en B-3.
b) Quelle doit être alors, d'après

, l'intensité

. Commenter le résultat.
c) Calculer le rendement électromécanique, c'est à dire le rapport entre l'énergie cinétique du projectile à la date

et l'énergie initiale

- On se propose de retrouver par une autre méthode la valeur approchée de

obtenue à la question

, en calculant la diminution de

au moyen des équations

On définit . Récrire, en fonction de et en introduisant , l'équation électrique et l'équation du mouvement .
Comparer numériquement et .
On suppose . Cette condition suggère de résoudre l'équation électrique en prenant pour et les expressions obtenues à intensité constante à la question de cette troisième partie. Montrer, en tenant compte de la comparaison précédente, que vérifie alors l'équation suivante :

En déduire

.
4. Toujours dans l'hypothèse où

, montrer que

et vérifier qu'on retrouve la même expression qu'à la question