Cette composition ne concerne qu'une partie des candidats de la filière MP, les autres candidats effectuant simultanément la composition d'informatique A. Pour la filière MP, il y a donc deux enveloppes de sujets, pour cette séance.

Principe de la microscopie à force atomique

La microscopie à sonde locale permet de caractériser une surface à l＇échelle nanométrique，voire sub－nanométrique． Un microscope à force atomique（AFM，selon son abréviation anglaise）effectue cette caractérisation à travers l＇inter－ action qui s＇exerce entre la surface（incluant d＇éventuels éléments adsorbés，molécules，film，．．．）et une pointe de

Figure 1 －Structure d＇un microscope à force atomique．La lame flexible（2）（

），tracée en trait continu，est représentée fléchie sous l＇action de la force d＇interaction

que la surface（4）fait subir à la pointe de détection（3）． Un grossissement de cette pointe apparaît dans un encart．

Nous nous placerons toujours dans des situations telles que：

．

Nous ne prendrons jamais en compte l＇effet de la pesanteur．

Il s＇agit d＇établir l＇équation

（appelée＂déformée＂）décrivant la forme adoptée par la lame lorsqu＇elle est soumise à la force

appliquée à son extrémité B（situation illustrée figure（1））．Elle permettra notamment de relier la flèche

et l＇angle de déflexion

．
Nous admettrons qu＇un parallélépipède homogène de section

，soumis à un effort

normal à cette section，subit un accroissement

de sa longueur

qui vérifie ：

La grandeur

，constante et positive，est une caractéristique du matériau constituant le parallélépipède．

\section*{1．1 Comportement élastique．

1．1 Comportement élastique．}

Il s＇agit d＇établir l＇équation

（appelée＂déformée＂）décrivant la forme adoptée par la lame lorsqu＇elle est
soumise à la force

appliquée à son extrémité B （situation illustrée figure（1））．Elle permettra notamment de relier la flèche

et l＇angle de déflexion

．
section，subit un accroissement

de sa longueur

qui vérifie ：

\section{\section{1 Caractérisation mécanique de la lame．

1 Caractérisation mécanique de la lame．}

1 Caractérisation mécanique de la lame．}

都 formée＂）類
détection de très faible dimension，amenée dans son proche voisinage．Le déplacement de cette sonde par rapport à la surface permet de dresser une cartographie de cette interaction．

Nous nous intéresserons d＇abord aux propriétés mécaniques de l＇élément sensible d＇un AFM．Nous étudierons ensuite le contexte dans lequel ce microscope est mis en œuvre afin d＇identifier les exigences techniques qu＇il impose． En dernier lieu，nous analyserons la chaîne de détection，de mesure et de contrôle．Les parties et sous parties de cette étude ne sont pas indépendantes．

La structure mécanique d＇un AFM est présentée figure（1）．L＇élément sensible de ce microscope est une lame flexible （2）portant，à son extrémité libre（B），une pointe de détection（3）．Cette lame est liée rigidement à son support（1），en （A），auquel on associe le repère

．C＇est dans ce dernier que nous caractériserons，par l＇équation

， la déformation de la lame．Le repère

，considéré comme référentiel galiléen，est lié au bâti（0）（fixe）de l＇AFM．La surface étudiée（4）est située，par rapport à ce repère，par les coordonnées（

）．Nous notons

les dimensions de la lame selon les axes respectifs（Ax），（Ay）et（Az）．Nous notons enfin

le déplacement，appelé flèche，de son extrémité（B）et

son angle d＇inclinaison sur l＇axe（Ax）．

Nous ne prendrons jamais en compte l＇effet de la pesanteur．

類豬

Nous considérons le tronçon élémentaire de lame, délimité par les sections de centres et , représenté figure (2). Ce tronçon est à l'équilibre mécanique sous l'action, d'une part de la force et du moment , en , d'autre part de la force et du moment , en . Ces grandeurs traduisent les actions mécaniques que les parties et de lame lui font subir, en réponse à l'application de la force .

Figure 2 - Tronçon élémentaire

de lame. Il est à l'équilibre sous les actions mécaniques qu'exercent sur lui, aux points

, respectivement les parties amont (ou gauche) et aval (ou droite).

émentaire $[x, x+\mathrm{d} x]$ que nous adoptons. Sous les actions mécaniques des parties gauche et droite que ce tronçon

subit, sa partie supérieure est comprimée alors que sa partie inférieure est étirée (ou réciproquement, selon le signe de

. Les efforts normaux

traduisent l'action du moment

sur le tronçon élémentaire

En traduisant l'équilibre mécanique du tronçon élémentaire déduire d'une part que la composante algébrique est uniforme, d'autre part l'équation différentielle liant à .
Déduire de ces deux résultats l'expression de la composante algébrique du moment en fonction de et .

En vue d'établir une relation décrivant le comportement élastique de la lame nous imaginons qu'elle est formée de deux lames, d'épaisseur , superposées. La figure (3) présente le modèle local de déformation d'un tronçon élémentaire que nous adoptons. Sous les actions mécaniques des parties gauche et droite que ce tronçon . Les efforts normaux traduisent l'action du moment sur le tronçon élémentaire .

Figure 3 - Modèle adopté de déformation d'un tronçon élémentaire de lame : (a) Situation de référence, le tronçon n'est soumis à aucune action mécanique; (b) Le tronçon est soumis aux actions mécaniques de la part des parties amont et aval.

En appliquant la relation (1) à chacun des demi-tronçons élémentaires supérieur et inférieur, établir l'équation liant à et . On se souviendra que et donc que .

La figure (4) traduit, vis-à-vis de la courbure de la lame, le modèle de déformation décrit figure (3).

À partir du résultat précédent et d'un raisonnement géométrique appliqué à la figure (4), établir que la déformée vérifie l'équation différentielle :

Le paramètre

est une constante positive que l'on exprimera en fonction de

.
5. Déduire des résultats précédents l'expression de la fonction

, paramétrée par les grandeurs

.
6. Nous posons

. Exprimer, en fonction de

, la flèche

et l'angle

(définis sur la figure (1)).
7. Exprimer, en fonction de

, l'énergie élastique

emmagasinée par la lame dans un état de déformation caractérisé par la flèche

(b)

Figure 4 - Tronçon élémentaire

de lame courbé sous l'effet des actions mécaniques exercées par les parties amont et aval.

1.2 Comportement inertiel.

Nous notons

la masse de la lame (celle de la pointe est négligée devant

). Il s'agit d'exprimer la masse inertielle effective

de la lame qui intervient, en particulier, dans l'expression de son énergie cinétique

, en régime dynamique. Elle est définie par la relation :

Pour le mode fondamental de vibration de la lame, nous considérons que la forme qu'elle adopte peut être confondue avec celle de sa déformée statique. Elle est alors totalement définie par la connaissance de la flèche

, pour tout temps

. Nous exprimons alors sa déformée dynamique sous la forme :

ù

Déduire du résultat obtenu à la question (5) l'expression de la fonction .
En sommant les participations de chaque tronçon élémentaire [ ], établir l'expression de l'énergie ciné- tique de la lame. En déduire l'expression de sa masse effective en fonction de sa masse . Sur la base d'un argument physique, préciser pourquoi .

1.3 Estimations numériques.

Une lame en nitrure de silicium présente les caractéristiques suivantes

.
10. Estimer la valeur de la raideur

, de la masse effective

et enfin de la fréquence propre (ou, ici, de résonance)

de la lame.
11. La figure (5) représente l'évolution temporelle de la flèche adimensionnalisée

en régime libre, depuis la situation initiale

), sa pointe étant soustraite à toute influence de la surface. L'axe des abscisses porte le temps adimensionnalisé

où

.
Estimer, à partir de cette évolution, le facteur de qualité

de la lame. On indiquera la méthode suivie.

2 Interaction entre la surface et la pointe.

Nous supposons que l'interaction entre un atome de la surface (4) et la sonde (3) peut être approximativement décrite par le potentiel

d'expression :

Les paramètres

représentent respectivement une énergie et une longueur caractéristiques. La variable

représente la distance de la surface à la sonde (se reporter à la figure (1)). Nous supposons que cette sonde n'est en interaction, majoritairement, qu'avec un seul atome de la surface.

Figure 5 - Évolution temporelle de la flèche en régime libre (coordonnées adimensionnalisées), la pointe de détection étant soustraite à toute interaction avec la surface.

Représenter l'allure graphique du rapport en fonction de la distance adimensionnalisée . Indiquer la nature de l'interaction que représente chacune des composantes de ce potentiel. Préciser, en le justifiant, le signe du paramètre .
Proposer, sur la base d'une argumentation, un ordre de grandeur des paramètres et .

2.1 Imagerie par mode contact.

L'interaction entre la surface et la sonde est directement caractérisée par la force qu'exerce la surface sur la sonde. Ce mode est généralement utilisé dans le domaine répulsif de l'interaction. Nous rappelons que l'on note

la raideur de la lame (question (7)).
14. Traduire l'équilibre mécanique de la sonde lorsqu'elle est soumise au potentiel

. On fera apparaître le paramètre

et la variable

(flèche).
15. Établir que cette équation d'équilibre prend la forme :

ù

Le facteur

est une constante positive que l'on exprimera en fonction de

, et dont on donnera une interprétation physique.
16. Illustrer graphiquement la résolution de l'équation (6).
17. La figure (6) représente graphiquement la fonction

. Estimer, à partir de cette figure, la valeur du paramètre critique

au-dessus duquel l'équation (6) admet une unique solution, quel que soit

.
18. Nous adoptons la valeur trouvée de

comme référence et fixons

. En déduire l'ordre de grandeur de la raideur

correspondante de la lame. Vérifier qu'il est cohérent avec la valeur trouvée en réponse à la question (10).
19. Associer une force caractéristique

à la force d'interaction

entre la surface et la sonde. Déduire de ce résultat et du précédent l'ordre de grandeur de la flèche caractéristique

. Commenter brièvement ces résultats.

Figure 6 - Représentation graphique de la fonction

Le champ d'interaction entre la surface et la sonde est exploré en faisant varier le paramètre selon le cycle :

Représenter graphiquement l'allure de la dépendance correspondante de avec , dans le cas où .
Même question que la précédente, mais dans le cas où . En déduire l'allure graphique de la dépendance de la flèche avec le paramètre de distance . Interpréter ce résultat.
Tirer les conclusions pratiques des résultats obtenus en réponse aux questions (20) et (21).

2.2 Imagerie par mode non-contact.

L'interaction entre la surface et la sonde est caractérisée par l'influence qu'exerce la surface sur la fréquence de résonance de la lame. Ce mode est utilisé dans le domaine attractif de l'interaction. Nous rappelons que l'on note

la raideur de la lame (question (7)) et

sa masse effective (masse intervenant dans l'expression de son énergie cinétique [équation (3)]).
23. Exprimer l'énergie mécanique totale

de la lame lorsqu'elle oscille et que la pointe est en interaction avec la surface. On fera apparaître le paramètre

et la variable

(flèche). On n'explicitera pas la dépendance du potentiel

avec la distance, on précisera seulement son argument.
24. Développer l'expression de l'énergie

au voisinage d'un état présupposé d'équilibre caractérisé par la flèche

. On ne fera porter ce développement que sur le potentiel

, en le limitant à l'ordre 2 vis-à-vis de l'écart (

). Par ailleurs, on notera simplement

le potentiel et ses dérivées première et deuxième correspondant à l'état d'équilibre (c'est-à-dire que l'on ne les explicitera pas).
25. En déduire l'équation différentielle du deuxième ordre vérifiée par la flèche

. On négligera ici toute cause de dissipation de l'énergie mécanique.
26. Analyser cette équation différentielle.

La lame est excitée par les oscillations verticales harmoniques de son support (1), décrites par l'équation horaire (écrite en représentation complexe) :

D'autre part, nous prenons maintenant en compte l'effet d'amortissement des oscillations de la lame en introduisant le facteur de qualité

. Nous supposons que seul l'air ambiant est responsable de cet effet dissipatif. Ainsi excitée, la lame oscille autour de sa position moyenne

. Nous recherchons alors sa réponse en amplitude sous la forme (en notation complexe) :

Enfin, nous notons

Figure 7 - Dépendance du module

avec

dans le cas où la lame est sans interaction avec la surface (

) et dans celui où elle subit son influence (illustration avec

).
Figure 7 - Dépendance du module

avec

dans le cas où la lame est sans interaction avec la surface (

) et dans celui où elle subit son influence (illustration avec

Nous définissons la sensibilité intrinsèque de ce protocole de mesure par le rapport :
Exprimer la fonction de transfert en amplitude de la lame, définie par le rapport . On fera apparaître le facteur de qualité , le paramètre et la variable .

Pour ce mode de mesure, l'AFM est équipé d'une lame de raideur telle que sur tout le domaine attractif de l'interaction. Elle est excitée à une pulsation et une amplitude fixées. On mesure alors la variation d'amplitude de sa réponse . Le terme désigne l'amplitude de vibration de la lame en l'absence d'interaction avec la surface et le terme celle correspondant à la distance (choisie) de la surface. La figure (7) représente graphiquement la dépendance du module avec dans le cas où la lame est sans interaction avec la surface ( ) et dans celui où elle subit son influence (illustration avec ).

Estimer, à partir de la figure (7), le facteur de qualité de la lame dans le cas où elle est sans interaction avec la surface.
Estimer, à partir de la figure (7), le facteur de qualité de la lame dans le cas où elle est sans interaction avec la surface.
Nous définissons la sensibilité intrinsèque de ce protocole de mesure par le rapport :

Définir le critère conduisant au choix de la (voire, des) pulsation

la mieux adaptée à ce protocole. Se souvenir que

et donc que

reste toujours proche de

, comme l'illustre la figure (7). Estimer alors, à partir de cette figure, la valeur correspondante de

. Il ne s'agit pas d'effectuer des calculs, mais simplement d'exploiter cette figure.
30. Estimer, à partir de la figure (7), la valeur de

correspondant à la valeur choisie de

Reportons-nous au dispositif optique décrit figure (8). La surface supérieure de la lame, dans le voisinage de son
extrémité B , est métallisée par un dépôt de chrome. Le faisceau LASER, visant le point

, s'y réfléchit puis est intercepté par le plan de détection disposé perpendiculairement au faisceau de référence (lame non fléchie). Les déformations restant toujours faibles, le point B est considéré comme ayant la même abscisse

que le point

. De même, le point

est supposé rester confondu avec le point B . Le point

désigne le point d'incidence, sur le plan de détection, du faisceau réfléchi de référence. Le point

désigne celui correspondant à l'état de déformation (

) de la lame. Nous notons

l'écart algébrique à la situation de référence et

la distance du point

au plan de détection. Enfin, nous n'envisageons que des situations telles que

Figure 8 - La position de la tache LASER, centrée au point

du plan de détection, est image de l'état de déformation de la lame.
31. Indiquer comment, à partir de la mesure de l'écart

, on accède au gradient (normal) de force existant à la distance

de la surface.
32. La situation illustrée par la figure (7) correspondrait à une expérience réalisée à la pression atmosphérique. Indiquer comment, en pratique, il serait possible d'augmenter

3 De la flèche à sa détection, sa mesure et son contrôle.

Nous étudions ici quelques techniques mises en œuvre dans la chaîne de détection, de mesure et de contrôle de la flèche

. Nous caractériserons, en particulier, les éventuelles contraintes ou limites qu'elles imposent.

3.1 Détection de la flèche.

Reportons-nous au dispositif optique décrit figure (8). La surface supérieure de la lame, dans le voisinage de son extrémité B , est métallisée par un dépôt de chrome. Le faisceau LASER, visant le point

, s'y réfléchit puis est ntercepté par le plan de détection disposé perpendiculairement au faisceau de référence (lame non fléchie). Les déformations restant toujours faibles, le point B est considéré comme ayant la même abscisse

que le point

. De même, le point

est supposé rester confondu avec le point B . Le point

désigne le point d'incidence, sur le plan
de détection, du faisceau réfléchi de référence. Le point

désigne celui correspondant à l'état de déformation

de la lame. Nous notons

l'écart algébrique à la situation de référence et

la distance du point

au plan de détection. Enfin, nous n'envisageons que des situations telles que

33. Nous rappelons que

. Par ailleurs, la configuration est telle que

. Exprimer l'écart

en fonction de l'angle

et de la distance

, dans ces conditions.
34. Le LASER utilisé émet dans le domaine visible et la distance

est fixée à 10 cm . Nous considérons que le diamètre du faisceau, au niveau de la surface de réflexion de la lame, est égal à la largeur

de la lame (

, valeur donnée dans la sous-partie (1.3)). Estimer algébriquement puis numériquement le diamètre

de la tache lumineuse formée par le faisceau LASER sur le plan de détection. On précisera le raisonnement tenu.

3.2 Localisation par photodétection de la position du point .

Reportons-nous à la figure (9). La localisation du point

, représentant le centre du faisceau LASER intercepté par le plan de détection (plan apparaissant figure (8)), est assurée par deux photodiodes

dont les surfaces photosensibles sont contigües. La polarisation de ces photodiodes est telle que les courants

qui les traversent sont proportionnels au flux lumineux qu'elles reçoivent. Dans la situation de référence, le point

se situe à la frontière entre ces deux surfaces et les photodiodes reçoivent alors, chacune, le même flux lumineux. Lorsque le point

s'écarte du point

, la dissymétrie qui apparaît est directement liée à l'écart

, lui-même image de l'état de déformation (

) de la lame. Nous notons

les flux lumineux respectivement reçus par les photodiodes

. Nous considérons que l'intensité lumineuse du faisceau LASER est uniformément répartie sur sa section. Nous notons

le rayon de sa section au niveau de la surface photosensible.

Figure 9 - Localisation du point

à l'aide de deux photodiodes

. Le disque teinté de rayon

, de centre

sur la figure de gauche et de centre

sur celle de droite, représente la tache lumineuse formée par le faisceau lASER sur le plan de détection.

Nous définissons le contraste par le rapport :

Exprimer ce contraste en fonction de l'écart

et du rayon

de la tache lumineuse, en se plaçant dans la limite

.
36. Nous identifions

(question (34)). Analyser la cause qui limite le contraste.
37. Notamment à cause de la dérive thermique de la cavité du LASER, l'intensité lumineuse de ce dernier est susceptible de fluctuer (même sur de grandes échelles de temps). Expliquer alors pourquoi le contraste

apparaît mieux adapté à la capture de l'écart

que simplement la différence

3.3 Étude de la photodétection.

Une photodiode est un dipôle électrocinétique non linéaire dont la caractéristique courant-tension est paramétrée par le flux lumineux (dans la gamme fréquentielle appropriée) que sa surface photosensible absorbe. La figure (10) symbolise ce composant. Soumis à la différence de potentiel

et absorbant le flux

, ce photodétecteur est alors traversé par le courant

Figure 10 - Dipôle électrocinétique ( PN ) représentant une photodiode soumise à la différence de potentiel

et absorbant le flux lumineux

. Il est alors traversé par le courant

La sensibilité photonique du photodétecteur est définie par le rapport :

Exprimer la sensibilité théorique

en considérant que chaque photon du flux lumineux

génère, au sein de ce composant, une charge élémentaire

participant au courant

Estimer

en adoptant les valeurs arrondies :

(constante de Planck) et

(fréquence de l'émission LASER).
Vérifier que le résultat obtenu est compatible avec la valeur de sensibilité déduite de la figure (11).

La réponse en courant de ce photodétecteur est (sensiblement) décrite par l'équation :

à é

Le courant

est une constante positive (de l'ordre de quelques nA ). Le courant d'origine photonique

, également positif, est considéré ne dépendre que du flux lumineux

et lui être proportionnel. La figure (11) représente la caractéristique courant-tension d'une photodiode pour trois valeurs de flux. La valeur la plus élevée (

) correspond à la puissance lumineuse du LASER utilisé.

Figure 11 - Influence du flux lumineux sur la caractéristique courant-tension de la photodiode. Du haut vers le bas :

Ce photodétecteur est placé dans le circuit de polarisation présenté figure (12). La différence de potentiel

est délivrée par un générateur de tension continue (idéal). Pour la photodiode considérée, elle ne doit pas être inférieure à -5 V .
39. Illustrer, à partir du réseau de caractéristiques

paramétré par le flux

(figure (11)), la construction graphique du point de fonctionnement ( Q ) adopté par le système, correspondant aux valeurs

.
40. La résistance

joue le rôle de convertisseur courant-tension

. Nous souhaitons que la différence de potentiel

permette la mesure d'un flux lumineux susceptible de varier dans la gamme

. Déterminer la valeur de la résistance

qui réalise le meilleur compromis, pour

Figure 12 - Circuit de polarisation de la photodiode à l'aide d'une source de tension imposant la différence de potentiel continue

Cste

et d'une résistance

L'équation (13) ne décrit la réponse du photodétecteur qu'en régime statique (tension et flux constants). En régime variable, la photodiode révèle un comportement capacitif. Dans la situation considérée ( ), nous la modélisons par un générateur de courant ( ) commandé (linéairement) par le flux et comportant, en parallèle, une capacité que nous considérerons comme indépendante de . La figure (13) présente ce modèle.

Figure 13 - Modélisation de la photodiode (dipôle PN ) en régime dynamique, placée dans son circuit de polarisation

Cste

Dans le cadre de cette étude en régime dynamique, le courant devient une fonction (supposée connue) du temps , par l'intermédiaire du flux . Établir l'équation différentielle vérifiée par le courant .
Exprimer puis calculer la fréquence de coupure de ce photodétecteur dans son circuit de polarisation. On adoptera les valeurs suivantes : et .
La résistance intervient dans l'expression du facteur de conversion courant-tension du photodétecteur (se reporter à la question (40)), ainsi que dans celle de sa fréquence de coupure. Commenter le compromis qui apparaît entre sensibilité et temps de réponse.

3.4 Cartographie iso-force d'une surface en mode contact.

La surface à caractériser est déplacée sous la pointe de l'AFM (se reporter à la figure (1)). L'interaction (ici répulsive, en mode contact) qu'elle subit se trouve alors modulée par le défilement du paysage atomique porté par la surface. Pour chacune de ses abscisses

on ajuste, via une boucle d'asservissement (représentée figure (15)), son ordonnée

afin de maintenir la flèche à une valeur de consigne

prédéterminée, constante (et positive). Afin d'alléger l'écriture des relations nous noterons désormais

Dans la situation de référence, on fixe

et l'on règle l'ordonnée

du support (1) de lame à la valeur

de telle façon que

. L'ordonnée

est ensuite maintenue constante. Pour ce réglage, la force ressentie par la pointe est considérée être la force moyenne (spatialement), nous la notons

(positive). Cette situation est illustrée par la figure (14). Nous supposerons que, lors de l'exploration de la surface,

reste toujours voisin de

et donc

. Dans ce cadre, nous exprimons la force que la surface fait subir à la pointe sous la forme simplifiée :

Les paramètres apparaissant dans cette expression vérifient

, et

Figure 14 - Cartographie de la surface en mode contact - Situation de référence.

Notations et données spécifiques à cette sous-partie.

Nous notons la variable de Laplace.
La fonction échelon (ou fonction de Heaviside) est définie par la relation :

Cette fonction admet, pour transformée de LAPLACE, la fonction : .
La transformée de LAPLACE de la dérivée d'une fonction s'écrit : .
Théorème de la valeur finale : Si la limite existe alors .

Préciser ce que représente, physiquement, chacun des paramètres et .
Nous notons la fréquence de coupure (haute) de l'ensemble du dispositif de photodétection et de traitement du signal. Proposer une estimation numérique (argumentée) de la vitesse maximale de translation de la surface sous la pointe de détection.

Nous notons la raideur de la lame (question (7)) et sa masse effective (équation (3)) et introduisons son facteur d'amortissement (analogue mécanique de la résistance électrique). L'ordonnée de la surface, maintenant priori non nulle, est pour l'instant considérée comme un paramètre (devant toutefois rester "petit", dans le cadre que nous avons fixé). Cette ordonnée est fixée par un élément piézoélectrique commandé par une différence de potentiel (l'ordonnée varie linéairement avec le signal ). La figure (15) présente la modélisation mécanique, le paramétrage de ce système ainsi que la structrure générale de la contre-réaction qui interviendra dans la suite.

Établir l'équation différentielle dont est solution la différence .

Nous l'écrirons sous la forme :

ù

Préciser alors l'expression de chacune des grandeurs

.
47. La contre-réaction visant l'asservissement de la flèche

à la consigne

agit par l'intermédiaire de la variable

commandant le positionneur vertical (élément piézoélectrique) représenté figure (15). Elle est traduite globalement par la relation :

Préciser d'abord (en le justifiant) quel doit être le signe du facteur

pour que l'asservissement soit effectif. Écrire ensuite l'équation différentielle, décrivant maintenant le système bouclé, vérifiée par la variable

Figure 15 - Modélisation mécanique du système. La commande du positionneur vertical (élément piézoélectrique), représentée par la variable d'entrée

, permet de fixer l'ordonnée

de la surface. La variable

, fonction de la différence

, constitue la contre-réaction, lorsque le système est bouclé.

Nous imaginons que la pointe, lors de son déplacement, rencontre une "marche" formée par l'abord d'une couche atomique supplémentaire. Nous modélisons cette situation en remplaçant le terme par la fonction échelon . Décrire (qualitativement) la réponse du système bouclé à cette sollicitation. Exprimer la limite et commenter ce résultat.
La contre-réaction est maintenant de la forme :

Écrire l'équation intégro-différentielle vérifiée par la variable

(avec, de nouveau, le terme

de l'équation (14)).
50. Nous appliquons au système ainsi bouclé la sollicitation en échelon décrite à la question (48). Déterminer la limite

puis commenter ce résultat.
51. La surface est maintenant déplacée à la vitesse

constante. Nous posons

. Préciser à quelles conditions, portant sur

, nous pouvons considérer que le système est sollicité de façon quasistatique (on raisonnera ici simplement sur le système non bouclé). Nous nous placerons maintenant toujours dans le cas d'une sollicitation quasistatique, y compris lorsque le système est bouclé.
52. Étudier la qualité de respect de la consigne dans le cas où la contre-réaction est décrite par l'équation (17).
53. Étudier la qualité de respect de la consigne dans le cas où la contre-réaction est décrite par l'équation (18).
54. Préciser pourquoi la contre-réaction décrite par l'équation (18), en comparaison à celle décrite par l'équation (17), expose le système à un risque d'instabilité.

1. Les caractéristiques d'une lame sont adaptées au mode d'utilisation de l'AFM.

X ENS Physique SI MP 2020

MARDI 21 AVRIL 2020-14h00-18h00 FILIÈRE MP (Spécialité P&SI)

Épreuve n

PHYSIQUE ET SCIENCES DE L'INGÉNIEUR (X)