X ENS Physique MP 2012

CONCOURS D'ADMISSION 2012
filière MP

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
On se contentera, pour les applications numériques, d'un seul chiffre significatif.

La théorie de la relativité générale, publiée par A. Einstein en 1916, prédit l'existence de deux effets, dits effet géodétique et effet Lense-Thirring, sur le mouvement d'un gyroscope en orbite autour de la Terre. Ceux-ci ont été mesurés avec succès par le satellite Gravity Probe B en 2008. Dans ce problème, nous allons essayer de rendre compte de ces perturbations du mouvement classique en nous fondant sur une généralisation post-newtonienne du champ gravitationnel obtenue par analogie avec l'électromagnétisme. Cette analogie permet de comprendre l'origine des phénomènes et d'en calculer un ordre de grandeur, mais ne donne pas les mêmes résultats que la théorie de la relativité générale.

Dans cette partie, nous allons partir de l'analogie formelle entre le champ électrique et le champ gravitationnel. Ceci nous permettra de construire l'équivalent gravitationnel des équations de Maxwell et fera apparaître un champ « gravitomagnétique », analogue du champ magnétique.
I. 1 Quelle est l'expression du champ électrique créé en par une charge ponctuelle placée en ? Donner l'expression du champ gravitationnel obtenu en en remplaçant par une masse ponctuelle . On notera la constante de gravitation universelle.
I. 2 On s'intéresse maintenant à une distribution continue de charge électrique ayant la densité ou de matière ayant la masse volumique . En poursuivant l'analogie de la question précédente, justifier que la divergence du champ gravitationnel prend la forme , où est une constante donc on précisera l'expression. Montrer que l'on peut alors retrouver le théorème de Gauss gravitationnel.

Dans le cas général, le champ électromagnétique vérifie les équations de Maxwell. En nous fondant sur l'analogie formelle entre le champ électrique d'une distribution de charge et le champ gravitationnel d'une distribution de masse, nous allons supposer l'existence d'un champ gravitomagnétique couplé au champ gravitationnel selon les équations

où désigne le vecteur densité de courant, étant la vitesse de la matière au point considéré.
I. 3 Quelle est la dimension de ?
I. 4 À partir de ces équations, déduire la forme locale de l'équation de conservation de la masse.
I. 5 Montrer que le champ gravitationnel dans le vide, en l'absence de masse, est solution d'une équation d'onde. On suppose que la vitesse de propagation de ces ondes gravitationnelles est égale à , vitesse de la lumière dans le vide. En déduire l'expression de en fonction de et .
I. 6 Rappeler l'expression de la force subie par une masse ponctuelle plongée dans un champ gravitationnel . Par analogie avec l'électromagnétisme, donnez l'expression de la force de Lorentz due au champ gravitomagnétique .

Nous allons maintenant comparer l'action du champ gravitationnel et du champ gravitomagnétique en étudiant le système constitué de deux fils parallèles infinis.
I. 7 Déterminer le champ gravitationnel créé par un fil rectiligne infini, immobile, de masse linéique , en tout point extérieur à celui-ci. En particulier, on précisera les arguments de symétrie qui permettent de simplifier le calcul.
I. 8 Exprimer la force gravitationnelle par unité de longueur entre deux fils identiques et parallèles, séparés par une distance .
I. 9 On considère à présent un fil rectiligne infini de masse linéique en mouvement uniforme à la vitesse parallèle au fil. Déterminer le champ gravitomagnétique qu'il crée en un point extérieur quelconque. Une fois encore, on précisera les arguments de symétrie qui permettent de simplifier le calcul.
I. 10 Donner l'expression de la force gravitomagnétique par unité de longueur entre deux fils rectilignes identiques et parallèles, en mouvement à la même vitesse parallèle à leur direction et séparés par une distance . Cette force est-elle attractive ou répulsive? Comment s'écrit le rapport ? Quelle est l'importance relative des effets gravitomagnétiques pour des vitesses ordinaires? Que se passe-t-il si on inverse le sens de la vitesse de l'un des fils?

On s'intéresse maintenant à l'action d'un champ gravitomagnétique sur un gyroscope.
I. 11 Rappeler l'expression du moment magnétique d'une spire circulaire de rayon parcourue par un courant .
I. 12 On considère une spire circulaire de masse et de rayon en rotation uniforme à la vitesse angulaire autour de l'axe perpendiculaire à son plan et passant par son centre. En poursuivant l'analogie, montrer que son moment gravitomagnétique est proportionnel à son moment cinétique . Donner la valeur de la constante de proportionnalité. On supposera cette relation de proportionnalité générale.
I. 13 Rappeler le couple que subit un moment magnétique plongé dans un champ magnétique uniforme et constant. On considère un gyroscope de moment cinétique placé dans un champ gravitomagnétique uniforme et constant. Déduire par analogie l'équation du mouvement de et décrire succinctement son évolution au cours du temps.

II.1 On considère un satellite en orbite circulaire autour de la Terre. Exprimer sa vitesse en fonction de son altitude , de la masse et rayon de la Terre et de la constante de gravitation universelle . Comment s'écrit cette vitesse en fonction de l'accélération de la pesanteur à la surface de la Terre , de et de ?

Application numérique : Calculer pour un satellite orbitant à basse altitude . En déduire la valeur de sa période de révolution.

Dans le référentiel barycentrique du satellite, la Terre tourne autour de lui, ce qui crée un champ gravitomagnétique dont nous allons étudier l'effet. Pour simplifier la modélisation, nous supposons, dans cette partie uniquement, que le référentiel barycentrique du satellite est galiléen.
II. 2 Rappeler l'expression du champ magnétique au centre d'une spire circulaire de rayon parcourue par un courant d'intensité .
II. 3 Par analogie, en déduire l'expression du champ gravitomagnétique ressenti par le satellite, dans la limite où la Terre est ponctuelle. On l'exprimera en fonction de et de sa période de révolution .
II. 4 Un gyroscope est placé au centre de gravité du satellite en s'arrangeant pour qu'il n'ait aucun contact avec celui-ci, de sorte à laisser libres tous ses degrés de libertés de rotation. On notera le moment cinétique du gyroscope dans le référentiel barycentrique du satellite. La direction initiale de est choisie dans le plan orbital du satellite.

Montrer que précesse à une vitesse angulaire dont on donnera l'expression en fonction de et (effet dit «géodétique»). On précisera sur un schéma la direction et le sens du mouvement de précession.
II. 5 Calculer numériquement l'angle dont tourne en un an pour un satellite orbitant à basse altitude. Comparer ce résultat théorique avec la valeur expérimentale radian mesurée par le satellite Gravity Probe B.

Dans cette partie, il s'agit maintenant de calculer l'effet gravitomagnétique induit par la rotation propre de la Terre sur l'orientation d'un gyroscope en orbite. On désigne par un référentiel géocentrique, supposé galiléen, où est le centre de la Terre et son axe de rotation. On note la vitesse angulaire de la Terre dans ce référentiel et son moment d'inertie par rapport à l'axe .
III. 1 Donner l'expression du moment gravitomagnétique de la Terre, noté , dû à sa rotation propre.
III. 2 On rappelle que le champ magnétique créé en un point par un dipôle magnétique de moment situé en est donné par

Donner l'expression du champ gravitomagnétique de la Terre, assimilée dans la suite du problème à un moment gravitomagnétique ponctuel. Tracer l'allure de ses lignes de champ dans un plan contenant l'axe de rotation terrestre.

On considère désormais un satellite de plan orbital (orbite polaire). La position du satellite sur son orbite est repérée par un angle de sorte que les coordonnées du satellite sont données par et .
III. 3 Donner l'expression des composantes et du champ gravitomagnétique terrestre ressenti par le satellite en fonction de .

Comme dans la partie II, un gyroscope est placé au centre de gravité du satellite, sans contact avec celui-ci. On notera le moment cinétique du gyroscope dans le référentiel barycentrique du satellite. Initialement, la direction de est parallèle à .
III. 4 Exprimer la variation , supposée faible, de sur une période orbitale .
III. 5 De quel angle tourne pendant la période ? En déduire l'expression de la vitesse angulaire moyenne de précession de , notée (effet dit «Lense-Thirring»).
III. 6 On donne et on se place dans la limite où . Exprimer en fonction de et , la vitesse du satellite.
III. 7 Déterminer le rapport , où est la vitesse angulaire calculée dans la partie II.

Application numérique: le satellite Gravity Probe B a mesuré radian/an. L'ordre de grandeur de ce résultat est-il compatible avec la modélisation proposée plus haut?
III. 8 Le satellite Gravity Probe B a aussi mesuré la direction des deux mouvements de précession du gyroscope. Montrer que le choix d'une orbite polaire permet de séparer l'effet géodétique de l'effet Lense-Thirring.

Le gyroscope est une boule de quartz isolant revêtue d'une fine pellicule de niobium supraconducteur. L'ensemble est mis en rotation. Un supraconducteur en rotation est le siège d'un champ magnétique aligné avec son axe de rotation. La précession du gyroscope est déterminée par des mesures de flux de ce champ magnétique à travers une boucle à induction. Le but de cette partie est d'établir l'expression du champ magnétique engendré par un supraconducteur en rotation, puis d'estimer la précision de la mesure.
IV. 1 On admet qu'il existe un choix du potentiel vecteur tel que la vitesse des électrons soit donnée en tout point du supraconducteur par

où est la charge élémentaire, est la masse de l'électron, et est le potentiel vecteur au point où se trouve l'électron. Vérifier que cette équation est dimensionnellement correcte.
IV. 2 On note la densité volumique d'électrons dans le supraconducteur. Exprimer la densité de courant en supposant que les électrons sont les seuls porteurs de charge.
IV. 3 On admet qu'un supraconducteur est un conducteur ohmique de résistivité nulle. Écrire la forme locale de l'équation de conservation de la charge en un point à l'intérieur du supraconducteur. Quelle condition impose-t-elle sur le potentiel vecteur ?
IV. 4 On suppose par ailleurs que le potentiel scalaire est partout nul à l'intérieur du supraconducteur. Exprimer le champ électrique et le champ magnétique en fonction de .
IV. 5 Parmi les quatre équations de Maxwell, lesquelles sont automatiquement vérifiées par ces expressions de et ?
IV. 6 Le supraconducteur est en rotation uniforme à la vitesse angulaire autour de l'axe . On suppose que les électrons sont au repos par rapport au supraconducteur. En déduire l'expression de en un point , puis l'expression du champ dans la pellicule supraconductrice.
IV. 7 En déduire l'expression du champ à l'intérieur de la boule constituant le gyroscope.

Application numérique : La vitesse angulaire de rotation du gyroscope embarqué sur le satellite Gravity Probe B est . Calculer , module du champ magnétique à l'intérieur du gyroscope.
IV. 8 Un magnétomètre appelé SQUID permet, par une mesure de flux du champ magnétique, de détecter la variation d'une composante quelconque du champ magnétique avec une précision . En déduire la précision relative sur la mesure de l'effet Lense-Thirring pour une expérience durant un an.