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Polytechnique Mathématiques 1 MP 2002

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales à paramètresSuites et séries de fonctionsProbabilités finies, discrètes et dénombrement
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X-ENS
Année
2002
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2002MP MathsMaths 2002
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CONCOURS D'ADMISSION 2002

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
On attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
La première partie est indépendante des trois autres.

Première partie

  1. On considère une suite de réels strictement positifs vérifiant et une suite de réels telle que .
Vérifier que la fonction est bien définie sur et atteint son minimum. On déterminera ce minimum ainsi que l'ensemble des points où il est atteint.
2. On considère une fonction continue réelle de carré intégrable sur l'intervalle . Vérifier que la fonction est bien définie sur et atteint son minimum. On déterminera ce minimum ainsi que l'ensemble des points où il est atteint.

Deuxième partie

Dans cette partie, on se donne une fonction réelle sur l'intervalle , continue par morceaux et intégrable.
3. Vérifier que la fonction est bien définie sur .
4.a) Montrer que la fonction est continue et convexe.
b) Déterminer les limites de lorsque tend vers ou .
5. Montrer que admet un minimum, que l'on notera , et que l'ensemble des points où atteint ce minimum est un intervalle.
6. Exemples. Déterminer et dans les deux cas suivants :
a) .
b) .

Troisième partie

On se donne à nouveau une fonction ayant les propriétés indiquées dans la deuxième partie; on suppose en outre que est monotone par morceaux, c'est-à-dire qu'il existe des nombres
tels que soit monotone sur chaque intervalle . Pour tout intervalle de , éventuellement réduit à un point, on définit une fonction sur par
  1. Vérifier que la fonction est continue par morceaux et intégrable sur . On note son intégrale.
  2. Établir les propriétés suivantes de l'application :
    a) Étant donnés des intervalles deux à deux disjoints dont la réunion est encore un intervalle, on a
b) Étant donnée une suite croissante d'intervalles , on a
c) Étant donnée une suite décroissante d'intervalles , on a
  1. Soit un réel et un réel ; on pose
a) Démontrer l'égalité suivante :
où est la fonction définie à la question 3.
b) Montrer que admet en tout point une dérivée à droite que l'on déterminera.
c) Même question pour la dérivée à gauche.
d) Comparer ces deux dérivées et dire pour quelles valeurs de elles sont égales.
10. On pose
a) Exprimer et en fonction de et de .
b) Montrer que l'ensemble des réels vérifiant , s'il n'est pas vide, est un intervalle fermé borné.
c) Comparer les ensembles (défini à la question 5.) et et préciser le comportement de sur l'intérieur de lorsque n'est pas réduit à un point.

Quatrième partie

  1. On se donne une fonction sur , réelle, continue, intégrable et monotone par morceaux; on note et ce qui était noté et .
    a) Démontrer l'inclusion .
    b) Montrer que est réduit à un point, que l'on notera .
    c) Comparer et , puis et .
  2. On considère une suite de fonctions sur , réelles, continues, intégrables et monotones par morceaux ; on suppose que cette suite converge en moyenne vers une fonction continue par morceaux, intégrable et monotone par morceaux. On pose . Montrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite ( ) est non vide et inclus dans l'ensemble des points où la fonction atteint son minimum.
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