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Polytechnique Mathématiques 1 MP 2004

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Equations différentiellesTopologie/EVNSuites et séries de fonctions
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X-ENS
Année
2004
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2004MP MathsMaths 2004
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PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Solutions périodiques d'équations différentielles

On se propose, dans ce problème, d'étudier les solutions de certaines équations différentielles, et, en particulier, leurs solutions périodiques.
On désigne par un nombre réel , par l'espace vectoriel des fonctions définies sur , réelles, continues et -périodiques, et enfin par un élément de . On pose
on munit de la norme définie par

Première partie

  1. Dire pour quelle(s) valeur(s) de l'équation différentielle
admet des solutions -périodiques non identiquement nulles.
On désigne maintenant par un élément de , et on s'intéresse à l'équation différentielle
2.a) Décrire l'ensemble des solutions maximales de (E2) et préciser leurs intervalles de définition.
2.b) Décrire l'ensemble des solutions maximales de (E2) qui sont -périodiques, en supposant d'abord non nul, puis nul.
3. On suppose que et que la fonction est une constante .
3.a) Supposant non nul, exprimer les coefficients de Fourier , d'une solution de (E2) appartenant à , en fonction de et des coefficients de Fourier de . Préciser le mode de convergence de la série de Fourier de .
3.b) Que se passe-t-il lorsque ?

Deuxième partie

Dans cette partie on désigne par une fonction réelle, de classe , définie sur , et on s'intéresse à l'équation différentielle
  1. Vérifier qu'une fonction est solution de (E3) si et seulement si elle satisfait la condition
  1. On suppose que est -périodique par rapport à la seconde variable, et que est non nul. Montrer que, pour toute fonction , la formule
définit effectivement une fonction de , et que est solution de (E3) si et seulement si l'on a .
Dans la suite du problème, on désigne par une fonction réelle, de classe , définie sur , -périodique par rapport à la seconde variable ; pour tout on pose et de sorte que l'équation différentielle s'écrit
On suppose . Pour tout on note la boule fermée de centre 0 , de rayon dans l'espace normé . On se propose de démontrer l'assertion suivante : pour tout il existe tel que, pour tout , l'équation différentielle (E4) admette une unique solution appartenant à ; on la notera .
On note (resp. ) la borne supérieure de l'ensemble des nombres (resp. ) où et .
6.a) Déterminer un réel tel que, pour tout , on ait .
6.b) Déterminer un réel tel que, pour tout , la restriction de à soit une contraction de .
6.c) Conclure.
7. Étudier le comportement de la fonction lorsque tend vers 0 , le nombre étant fixé.
8. On suppose maintenant que la fonction est une constante et que la fonction est de la forme . Déterminer la solution de (E4).
[On pourra mettre en œuvre la méthode des itérations successives en partant d'une fonction constante .
9. On prend maintenant et ; l'équation différentielle (E4) s'écrit donc
9.a) Indiquer des valeurs possibles pour et .
9.b) Déterminer la solution de (E5).
9.c) Soit un nombre réel. Démontrer qu'il existe une unique solution maximale de (E5) telle que . Déterminer précisément cette solution. Représenter quelques-unes de ces solutions sur un même graphique.

Troisième partie

Dans cette partie, on s'intéresse à l'équation différentielle
en supposant de classe et nulle en 0 ; on pose
et on suppose .
On se propose de démontrer le résultat suivant : si est une solution maximale de (E6) telle que , alors elle est définie sur et on a, pour tout
On pourra admettre ce qui suit : soit une fonction positive continue sur un intervalle satisfaisant une inégalité de la forme
où est réel et ; alors
  1. Dans cette question, on suppose que l'ensemble des pour lesquels est non vide et on note sa borne inférieure. Montrer que, pour tout , on a
  1. Conclure.
    N.B. Ce résultat exprime ce que l'on appelle la «stabilité » et la «stabilité asymptotique » de la solution nulle de l'équation différentielle (E6).
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