(Durée : 4 heures)
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Ce problème a pour but l'étude de certains endomorphismes des espaces de fonctions différentiables et des espaces duaux.

Pour tout entier on désigne par l'espace vectoriel des fonctions à valeurs complexes, de classe , définies sur l'intervalle ; pour toute de on pose

Enfin, on munit de la norme définie par

(On ne demande pas de vérifier que est effectivement une norme).

Pour tout de et tout de , on pose

2.a) Vérifier que appartient à , et que appartient à .
b) Montrer que est une application linéaire continue de dans lui-même, de norme égale à , et que est une application linéaire continue de dans , de norme égale à 1 .
3. Calculer les produits et , applications de dans .
4. On se propose maintenant de démontrer que le sous-espace image de est le sousensemble de formé des fonctions telles que et que, en outre, admette une limite finie lorsque tend vers 0 .
a) Traiter le cas où .
b) Supposant maintenant , vérifier que est inclus dans .
c) Prenant dans et posant , montrer que est de classe sur privé de 0 , puis étudier le comportement de lorsque tend vers 0 .
d) Conclure.

On désigne par l'espace vectoriel des fonctions à valeurs complexes, de classe , définies sur . Pour toute on pose

b) Étant donnés des éléments et de , les conditions suivantes sont équivalentes:
(i) tend vers 0 lorsque tend vers
(ii) pour tout converge uniformément vers .
c) La fonction définie ci-dessus est-elle la seule pour laquelle les assertions 5.a) et 5.b) sont vraies?

On désigne respectivement par et les endomorphismes de définis par

6.a) Déterminer les produits et .
b) Déterminer les noyaux et les images de et .
7.a) Déterminer des fonctions sur telles que l'on ait, pour toute ,

[On pourra procéder par récurrence sur n.]
b) Calculer .
c) On fixe dans . Déterminer des polynômes tels que l'on ait

[On pourra procéder par récurrence sur et écrire .]
d) Déduire de ce qui précède une démonstration de la formule de Taylor avec reste intégral.
8. Déterminer l'image de et le noyau de .

On désigne par l'espace vectoriel des formes linéaires sur possédant la propriété suivante : si des éléments et de sont tels que tend vers 0 lorsque tend vers , alors tend vers .
9. Vérifier que, si appartient à , il en est de même des formes linéaires et .

On note et respectivement les endomorphismes de ainsi définis. Pour tout et tout , on note la forme linéaire sur .
10. Pour entier positif, déterminer et ; montrer que les , , forment une base de .
11. Déterminer les éléments de solutions de l'équation .

Étant donné un nombre complexe , on désigne par l'endomorphisme de défini par

On pourra admettre les résultats suivants :
(i) si appartient à , il en est de même de . On notera l'endomorphisme de ainsi défini.
(ii) si est surjectif et admet pour base les .
12. Dans cette question on désigne par un espace vectoriel et par des endomorphismes de , commutant deux à deux et tels que, pour , on ait

Montrer que l'on a