Résoudre le système ( ) dans le cas où .
Même question dans le cas où .
3.a) Vérifier que la série entière est absolument convergente pour tout réel et que sa somme est solution du système ( ).
3.b) En serait-il de même si l'on supposait ?
Étant donné un nombre réel , on désigne par l'espace vectoriel des fonctions réelles continues sur l'intervalle et on le munit de la norme définie par . On note l'application de dans lui-même définie par

4.a) Vérifier que l'application

est continue.
4.b)Vérifier qu'une fonction dérivable

sur

est solution de (

) si et seulement si, pour tout

, la restriction de

est un point fixe de

.
4.c) Vérifier que, pour tout entier

, tout réel

, tout

et tous

4.d) Déterminer un entier

tel que l'on ait, pour tous

avec une constante

.
4.e) Démontrer l'unicité de la solution du système (

).
5. On pose, pour tout

réel,

5.a) Déterminer la limite de

lorsque

tend vers 0 .
5.b) Montrer que la fonction

, définie maintenant sur l'ensemble

, est de classe

.
5.c) On suppose ici

et on s'intéresse à la fonction

restreinte à l'intervalle

. Déterminer son signe, son sens de variation et sa limite lorsque

Deuxième partie

Notations. Étant donné une suite de nombres réels

, où

parcourt l'ensemble

, on dira que la série

est absolument convergente si les deux séries

le sont; dans ce cas on posera

Dans cette partie, on suppose

et on s'intéresse au système (

) où

parcourt l'intervalle

.
6. Étant donné un nombre réel

, trouver des nombres réels

, possédant les propriétés suivantes :
(i)

,
(ii) la série

est absolument convergente pour tout

, 0], et sa somme

est solution de

.
N.B. On ne demande pas de prouver l'unicité des

.
7. Déduire de la question 6 une solution de (

) sur l'intervalle ] -

].
8. Que se passe-t-il si l'on suppose

au lieu de

, et si l'on remplace la série

par la série

, mais en conservant les conditions (i)?

Troisième partie

Dans cette partie, on suppose

et on note

l'espace vectoriel des solutions de (

) définies sur l'intervalle

. Pour tout

, on pose

.
9. Vérifier que, si

, on a

pour tous entiers

tels que

et tout

.
Pour toute fonction

définie sur

, on note

la restriction de

.
10. Vérifier que l'application

définie par

est injective.
11. Étant donné un élément

, donner une condition nécessaire et suffisante, portant sur les dérivées de

aux points 1 et

, pour que

appartienne au sous-espace image de

.
12. On se donne un élément

et on fait l'hypothèse que

est nul pour tout entier

. On se propose de démontrer que

est nulle.
12.a) Vérifier que, pour tout

, on a

12.b) Déterminer pour tout

un nombre réel

tel que l'on ait, pour tout

[On pourra utiliser la formule de Taylor.]
12.c) Montrer que l'on a

pour tout

.
12.d) Conclure.