Polytechnique Mathématiques 1 MP 2007

Ce problème présente un procédé d'approximation de fonctions par des fonctions plus régulières.

Pour tout entier on désigne par l'espace des fonctions d'une variable réelle à valeurs complexes, -périodiques et de classe ; on note de même l'espace des fonctions -périodiques et continues par morceaux. Pour toute fonction de on définit ses coefficients de Fourier par

Étant donné une suite , on dit que la série est convergente si les séries et le sont, et on pose alors

On suppose maintenant et on note ou le nombre .
2. Vérifier que est réel. Calculer .
3.a) Montrer que la fonction , définie sur l'ensemble , est indéfiniment différentiable, et écrire ses dérivées partielles sous forme de sommes de séries.
3.b) Calculer .
4. Déterminer les coefficients de Fourier de la fonction .
5. Dire pour quelles valeurs du couple on a .

On suppose maintenant .
6. Démontrer l'égalité

et préciser le signe de cette expression.
7. Démontrer les assertions suivantes. On suppose et on fait tendre vers 0 par valeurs supérieures; alors tend vers 0 si , vers si , et la convergence est uniforme sur tout ensemble de la forme où .

Dans cette seconde partie on se donne une fonction de ; on suppose toujours .
8. Vérifier que la série est convergente.

Sa somme sera notée ou .
9. Montrer que la fonction , définie sur l'ensemble , est indéfiniment différentiable, et écrire ses dérivées partielles sous forme de sommes de séries.
10. Calculer .
11. On suppose . Montrer que, lorsque converge uniformément vers pour tout .

Pour tout on note l'ensemble des fonctions de satisfaisant

On pourra admettre que cet ensemble est un sous-espace vectoriel de .
13.a) Montrer que, pour tout entier , on a .
13.b) A-t-on ?
13.c) Montrer que si et .
[On pourra traiter d'abord le cas où .
Dans la suite du problème, on se donne un nombre réel ; pour tout , on pose .
14. Exprimer le nombre à l'aide de la fonction et vérifier qu'il est indépendant de .
15. Montrer que tend vers lorsque .
16. Étant donné un réel , déterminer un réel tel que l'on ait

On se donne maintenant une fonction pour un certain ; on désigne encore par un réel .
17.a) Déterminer un réel tel que l'on ait

17.b) Déterminer un réel tel que l'on ait pour tout , où l'on a posé, pour toute fonction bornée sur ,