(Durée : 4 heures)

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Les polynômes de Legendre, fonctions de Legendre et harmoniques sphériques étudiés dans ce problème ont des applications à la détermination des équilibres de température et des distributions de charges électriques, ainsi qu'à la mécanique quantique.

Les fonctions considérées sont à valeurs dans . On identifie une fonction polynomiale avec le polynôme associé.

Pour tout , on considère la fonction polynomiale , définie par

pour . Il résulte des conventions habituelles que pour .
1.a) Montrer que le polynôme est de degré . Quel est le coefficient du terme de degré dans ?
b) Pour quelles valeurs de la fonction est-elle paire? impaire?
c) Calculer et .
2. Soit . Montrer que pour tout tel que ,

pour .
a) La famille est-elle une famille orthogonale dans ?
b) Calculer pour chaque .
4.a) Soit . Montrer que est orthogonal à pour tout tel que .
b) Montrer que, pour tout est solution de l'équation différentielle

pour .
a) Etudier la parité des fonctions suivant les valeurs de et .
b) Montrer que et que, si et , alors et sont orthogonales dans .

Dans la quatrième partie, on utilisera la propriété suivante, que l'on admettra : sur l'intervalle , la fonction est de classe et est solution de l'équation différentielle

On désigne par les coordonnées canoniques de . Par définition une fonction polynomiale (ou polynôme) homogène sur de degré , où , est une combinaison linéaire à coefficients réels de monômes , où et . On convient que la fonction nulle est un polynôme homogène de degré pour tout .
6.a) Soit une fonction de classe sur , nulle en 0 , dont les dérivées partielles sont des fonctions polynomiales homogènes sur de degré . Montrer que est une fonction polynomiale homogène de degré .
b) Soit une fonction de classe sur qui vérifie

pour tous . Montrer que est une fonction polynomiale homogène sur de degré .
7. Montrer que, si est une fonction polynomiale homogène sur de degré ,

l'espace vectoriel réel des polynômes homogènes harmoniques sur de degré . On se propose de déterminer la dimension de .
a) Montrer que, pour . En déduire que

b) On pose . Soit , et soit . Calculer en fonction de .
10. Soit . On suppose qu'il existe tel que .
a) Montrer qu'il existe une fonction de classe sur telle que , où est la partie entière de .
b) Montrer que .
11.a) Montrer que, si , .
b) Quelle est la valeur de ?

On conserve les notations de la troisième partie. On introduit les coordonnées sphériques ( ) sur définies par

pour . On négligera le fait que ces coordonnées ne sont pas définies pour les points d'un demi-plan de . On écrira

(expression de en coordonnées sphériques). Soit

la sphère de centre 0 et de rayon 1 . On pose

et l'on admettra que

est l'expression du laplacien en coordonnées sphériques, c'est-à-dire que

Soit et . On considère les fonctions sur définies par

où les sont les fonctions étudiées dans la deuxième partie.
12. Montrer que pour tout et tel que ,

a) Montrer que .
b) Montrer, en regroupant dans les termes en et , que est un polynôme homogène harmonique sur de degré .