(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

L'objet de ce problème est l'étude de systèmes régis par une équation différentielle dépendant d'une donnée appelée « commande » et la recherche de «commandes optimales ».

Pour tout , on note la norme euclidienne sur et le produit scalaire euclidien. La transposée d'une matrice réelle est notée . On identifie un élément de avec une matrice à lignes et une colonne.

Dans ce problème, on appelle fonction bien continue par morceaux sur un intervalle de toute fonction continue par morceaux, continue à gauche sur et continue à droite en 0 , c'est-à-dire telle qu'il existe un nombre fini de points, tels que est continue sur et que existe pour
.

Soit l'espace vectoriel des matrices carrées réelles à lignes. Pour , on pose

1.a) Vérifier que est une norme sur .
b) Montrer que, pour toutes matrices ,

2.a) Pour , on pose . Montrer que la suite est convergente dans l'espace vectoriel muni de la norme .

On pose

b) Montrer que la fonction est continue, dérivable et que

c) Calculer et, pour . En déduire que

Soit un réel et soit . Soit une fonction bien continue par morceaux sur à valeurs dans , et soit . On pose, pour tout ,

3.a) On suppose que est continue. Montrer que est l'unique fonction de classe sur à valeurs dans telle que et, pour tout ,

On suppose maintenant et dans toute la suite du problème que est seulement bien continue par morceaux.
b) Montrer que est l'unique fonction continue, dérivable en tout point où est continue, et de classe par morceaux sur telle que et que la condition (1) soit satisfaite en tout point où est dérivable. Par convention, on dira encore que est solution de l'équation différentielle (1) sur .

Soit tel que et soit une matrice réelle à lignes et colonnes. On désigne par l'espace vectoriel des fonctions bien continues par morceaux sur à valeurs dans . A toute fonction , on associe l'équation différentielle sur

et l'on dit que est la commande du système décrit par l'équation (2). On fixe . On désigne par l'unique solution de (2) telle que .
4. Montrer que, pour tout , il existe tel que, pour tout et tout , on ait . Préciser l'équation différentielle et la condition initiale satisfaites par .

Soient des réels . On considère la fonction définie par

modélisant un coût que l'on cherche à rendre minimal. Soient et .
5. Montrer que est un polynôme du second degré en et donner des expressions des coefficients de ce polynôme. Que peut-on dire du signe du coefficient de ?
6.a) Montrer qu'il existe une unique fonction , de classe , telle que et

b) Exprimer par une intégrale de 0 à faisant intervenir et . [On rappelle que pour des fonctions et à valeurs vectorielles,
7.a) Déduire des questions précédentes que

b) Montrer que vérifie la condition , si et seulement si, .

On conserve les notations de la première partie.

Soit un intervalle fermé et borné de , non réduit à un point, et soit le cube qu'il définit dans . On considère l'ensemble des commandes telles que .
8.a) L'ensemble est-il un sous-espace vectoriel de ?
b) Montrer que si , alors .
9. Montrer que vérifie la condition

si et seulement si, ,

Dans l'application qui suit, on prend et . On choisit , où . Soit une constante réelle, .

Si est une fonction deux fois dérivable, on pose

Pour toute fonction , on étudie les fonctions de dans , de classe , et de classe par morceaux telles que en tout point où est définie.
10.a) Écrire ce problème sous la forme (2) avec des matrices et que l'on déterminera. Soient et des nombres réels. Montrer qu'il existe une unique fonction solution de ce problème telle que et .
b) Trouver pour que . Ces valeurs de sont choisies dans toute la suite du problème.
c) Montrer que est une fonction affine de à valeurs dans .
11.a) Soit tel que et . Montrer que .
b) Soit tel que
(i) et ne sont pas tous deux nuls;
(ii) .

Montrer que la fonction est constante par morceaux.
12. On suppose que .
a) On considère telle que :

Calculer et .
b) Montrer que .
c) On considère le cas où et . La fonction est-elle alors l'unique fonction de telle que ?