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Polytechnique Mathématiques 1 PC 2003

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RéductionIntégrales à paramètresAlgèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variables
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Banque
X-ENS
Année
2003
Filière
PC
Matière
Maths
X-ENS PCX-ENS 2003PC MathsMaths 2003
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ÉCOLE POLYTECHNIQUE

ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2003
filière PC

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Résonance paramétrique

Ce problème propose une première approche mathématique de la résonance paramétrique, phénomène physique que l'on rencontre aussi bien dans les recherches sur le mouvement de la lune que dans la manière de faire démarrer une escarpolette, ou dans l'étude des matériaux semi-conducteurs.
Soit une fonction réelle de la variable réelle , continue et périodique de période ,
Soit un nombre complexe. On considère l'équation différentielle du second ordre
où est une fonction complexe, de classe , de la variable réelle .

Première partie

  1. Soit l'ensemble des solutions de l'équation (1). Montrer que est un espace vectoriel complexe.
  2. Soient et deux solutions de (1). On pose . Montrer que est indépendant de .
  3. Soit l'opérateur de translation par qui, à une fonction complexe , associe la fonction telle que
a) Montrer que, si , alors .
b) On désigne par la restriction de à . Est-ce un isomorphisme de sur ?
4.a) Montrer qu'il existe une unique solution de (1) telle que
et une unique solution de (1) telle que
b) Montrer que et forment une base de .
5. On désigne par la matrice de l'endomorphisme de dans la base ( ).
a) Évaluer les coefficients de en fonction de .
b) Évaluer .
On pose , où désigne la trace.
c) Évaluer en fonction de .
6. Montrer que les valeurs propres de l'endomorphisme de sont racines du trinôme .
Soit . On dit que est stable si est bornée sur . On dit que est fortement stable si .
7. On suppose réel et .
a) Montrer que est somme directe des sous-espaces propres de .
b) Montrer que, si , toutes les solutions de (1) sont stables. Les fonctions propres de sont-elles fortement stables dans ce cas?
c) Montrer que, si , il existe une solution de (1) fortement stable. Est-elle unique? Existe-t-il dans ce cas des solutions stables mais non fortement stables?
8. On suppose que , où ou .
a) Montrer qu'il existe une base de dans laquelle la matrice de est où est un nombre complexe.
b) On suppose . Montrer que, dans ce cas, il existe une solution de (1) stable mais non fortement stable. Existe-t-il des solutions fortement stables?

Deuxième partie

Dans cette partie, on fixe et l'on suppose réel. Pour indiquer la dépendance par rapport au paramètre et au choix de la fonction , on note la quantité définie à la question 5.
9. Dans cette question, on choisit identiquement nulle, .
a) Calculer en distinguant les cas suivant le signe de . La fonction est-elle de classe ?
b) Tracer le graphe de la fonction , pour .
c) Déterminer la matrice lorsque et .
On va maintenant montrer que est proche de lorsque tend vers . On suppose et l'on pose . On note le maximum sur de la fonction .
On pose et l'on définit par récurrence
  1. Montrer par récurrence sur que
  1. On pose
Le paramètre étant fixé, montrer que l'on définit ainsi des fonctions continues de la variable .
12. On note et les dérivées par rapport à de et .
a) Calculer et sous forme d'intégrales contenant et respectivement.
b) Montrer que, pour ,
c) En déduire que et sont des fonctions de classe de la variable .
13. Montrer que et satisfont les équations
Les fonctions et sont-elles toujours des fonctions de classe de la variable ?
14.a) Montrer que et sont solutions de (1) pour .
b) Montrer que, si ,
  1. Montrer que, pour ,
  1. Dans cette question, on suppose de plus que .
    a) Montrer que
b) En déduire que, pour ,
  1. On appelle intervalle d'instabilité un intervalle de sur lequel . Montrer que, pour tout , il existe assez grand pour que tout intervalle d'instabilité contenu dans soit contenu dans un intervalle , pour un entier . Que peut-on dire de la position des intervalles d'instabilité quand ?
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