(Durée : 4 heures)
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On attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.

Ce problème a pour objet l'étude de certains cônes dans des espaces euclidiens.
On désigne par l'espace euclidien , par (.|.) son produit scalaire usuel, et par . la norme associée. Pour toute partie de , on note (resp. ) l'ensemble des éléments de satisfaisant resp. pour tout de .

Une partie de sera appelée cône à faces s'il existe une famille finie d'éléments de telle que soit l'ensemble des combinaisons linéaires avec . On supposera toujours les non nuls, et on dira qu'ils engendrent . Enfin on appelle face de toute partie de de la forme avec .

La première partie est indépendante des suivantes.

On se propose, dans cette partie, de démontrer que tout cône à faces est fermé dans .
4.a) Soit une partie compacte de ne contenant pas 0 . Montrer que l'ensemble des éléments de la forme , où et , est fermé dans .
b) Ce résultat subsiste-t-il si l'on suppose seulement fermé, ou si , compact, contient 0?
5. On considère maintenant un cône à faces engendré par des éléments .
a) Montrer que est fermé lorsqu'il ne contient aucune droite vectorielle. [On pourra introduire l'ensemble des éléments avec et .]
b) Soit un sous-espace vectoriel de (éventuellement réduit à 0 ) contenu dans et distinct de . On note le projecteur orthogonal de sur . Vérifier que est un cône à faces contenu dans .
c) Supposant que contient une droite vectorielle, construire un sous-espace vectoriel de contenu dans et contenant strictement .
d) Montrer que est fermé dans .

On souhaite maintenant démontrer que tout cône à faces est l'intersection d'une famille finie de demi-espaces fermés (on appelle demi-espace fermé tout sous-ensemble de de la forme avec .
7. Démontrer l'équivalence des conditions suivantes relatives à un cône à faces :
(a) le sous-espace vectoriel de engendré par est égal à ;
( ) l'intérieur de est non vide.
8. On suppose dans cette question les conditions de la question 7. satisfaites pour un cône à faces .
a) Démontrer l'équivalence des conditions suivantes relatives à un élément de :
est un point frontière de ;
( ) appartient à une face de distincte de .
b) Que subsisterait-il de ce résultat si l'on ne supposait pas satisfaites les conditions de la question 7.?
c) Soit un point de n'appartenant pas à . Construire une face de , distincte de et ayant la propriété suivante : pour tout tel que , on a .
[On pourra considérer le segment de droite joignant à un point de l'intérieur de ].
9.a) Montrer que l'ensemble des faces d'un cône à faces est fini.
b) Montrer que tout cône à faces est l'intersection d'une famille finie de demi-espaces fermés.
10. Déduire de ce qui précède que, si est un cône à faces, il en est de même de .