(Durée : 4 heures)
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Le but de ce problème est l'étude des valeurs propres et vecteurs propres de certaines matrices symétriques réelles.

On désigne par un nombre entier au moins égal à 2 . On munit l'espace de son produit scalaire et de sa norme usuels notés respectivement ( ) et . On identifie une matrice réelle avec l'endomorphisme qu'elle représente dans la base naturelle de et on note .

Dans la suite du problème, on désigne par un ensemble de couples de , tels que et que implique ; on note l'ensemble des matrices réelles symétriques et dont les coefficients satisfont, pour :

Dans cette deuxième partie, on prend pour l'ensemble des couples ( ) et ( ) où .
2. Montrer que toutes les valeurs propres de toute matrice de sont simples.

Dans la suite de cette partie, on prend pour la matrice, notée , de coefficients

tous les autres coefficients étant nuls. On note son polynôme caractéristique : . On pose .
3.a) Calculer et .
b) Écrire une relation donnant en fonction de et .
c) Calculer dét .
d) Le polynôme est-il pair, impair?
4. Soit un vecteur propre de associé à une valeur propre , de coordonnées . Exprimer en fonction de et de pour , puis en fonction de et de pour .
5.a) Démontrer les inégalités

[On pourra écrire sous la forme d'une somme de carrés de termes de la forme ou .]
b) Vérifier que l'on a .
6. Soit la plus grande valeur propre de . Montrer qu'il existe un vecteur propre pour cette valeur propre dont toutes les coordonnées sont strictement positives.

Dans cette partie, on prend pour l'ensemble formé des couples ( ) et ( ) où , et des couples et . On définit par

tous les autres coefficients étant nuls.

On munit de son produit scalaire usuel.
7.a) Déterminer les nombres réels pour lesquels le vecteur de coordonnées est vecteur propre de . Préciser la valeur propre correspondante .
b) Construire une base orthonormée , de formée de vecteurs propres de .
c) Déterminer les multiplicités des valeurs propres de .

On pose et on note l'espace vectoriel des applications satisfaisant pour tout . On définit un endomorphisme de par

8.a) Montrer que est un isomorphisme unitaire, et déterminer son inverse.
b) On définit un endomorphisme de par

Calculer l'endomorphisme .
c) Déduire de ce qui précède une nouvelle démonstration de la question 7.b).

On suppose maintenant que l'ensemble satisfait la condition suivante :
(C) Pour tout couple , il existe un entier et des indices tels que pour tout .

On note une matrice de , et sa plus grande valeur propre. On se propose de démontrer le résultat suivant :
(R) La valeur propre est simple et le sous-espace propre correspondant dans contient un vecteur ayant toutes ses coordonnées strictement positives.
9. Vérifier que, si un vecteur appartient à , il en est de même du vecteur de coordonnées .
10. On suppose que contient un vecteur , non nul, tel que pour tout et pour un certain indice .
a) Montrer qu'il existe deux indices et tels que et .
b) On fixe et ayant la propriété ci-dessus. Pour tout on définit un vecteur par ses coordonnées

Montrer que, pour tout suffisamment petit, on a

c) L'hypothèse faite au début de la question 10. est-elle valide?
11. Démontrer le résultat (R).