Soit un endomorphisme de représenté dans la base ( ) par une matrice diagonale de coefficients diagonaux deux à deux distincts. Montrer que tout endomorphisme de , commutant à , est aussi représenté par une matrice diagonale.
Soit des endomorphismes de .
2.a) Montrer que, si les seuls sous-espaces vectoriels de stables par sont et , alors tout endomorphisme de , commutant à , est un multiple scalaire de l'identité.
2.b) La réciproque est-elle vraie?

Deuxième partie

On définit

comme à la première partie. On note

les endomorphismes de

définis comme suit :

Calculer .
Déterminer les sous-espaces vectoriels de stables par , puis ceux stables par et .

On définit un troisième endomorphisme

par

Calculer .
Vérifier la relation

Déterminer les sous-espaces vectoriels de stables par .

Troisième partie

Dans cette partie, on désigne par

deux endomorphismes d'un espace vectoriel complexe

de dimension

satisfaisant les conditions suivantes :
i)

ii)

est inversible
iii)

est non nul.

Pour tout nombre complexe

on pose

Vérifier les relations

Montrer que est réduit à si est non nul.
Indiquer un nombre entier tel que .
Montrer qu'il existe un élément non nul de , vecteur propre pour .
On suppose de dimension 2, et on se propose de démontrer l'existence d'une base ( ) de possédant les propriétés suivantes:
(P1) où est un scalaire convenable
(P2)
(P3)
(P4) .
12.a) Montrer qu'il existe un vecteur et un scalaire tels que l'on ait

On note

un vecteur non nul et non proportionnel à

.
12.b) Montrer que le vecteur

, qu'on note

, est un multiple non nul de

.
12.c) Montrer qu'il existe un scalaire

tel que

12.d) Trouver un scalaire

tel que les vecteurs

répondent à la question.

Quatrième partie

Dans cette quatrième partie on désigne par

un espace vectoriel complexe de dimension

et on considère un triplet (

) d'endomorphismes de

satisfaisant les conditions suivantes :
i)

est inversible,

ii)

iii)

iv)

v) les seuls sous-espaces vectoriels de

, stables par

, sont

.
13. Vérifier que, pour tout entier

, on a

Dans ce qui suit, on note

un vecteur non nul de

, annulé par

et vecteur propre de

pour une certaine valeur propre que l'on notera

. Pour tout entier

, on pose

.
14. Calculer

.
15. Démontrer la relation

Démontrer les assertions suivantes:
16.a) Ceux des vecteurs qui sont non nuls, sont linéairement indépendants.
16.b) Il existe tel que pour tout et que soient linéairement indépendants.
16.c) On a .
16.d) On a .
Comparer le triplet avec le triplet considéré à la deuxième partie.