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Polytechnique Mathématiques 2 MP 2008

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Algèbre linéairePolynômes et fractionsSéries entières (et Fourier)Probabilités finies, discrètes et dénombrement
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2008
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Maths
X-ENS MPX-ENS 2008MP MathsMaths 2008
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DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Dénombrement d'applications entre ensembles finis

On se propose de démontrer quelques propriétés du nombre des applications surjectives d'un ensemble fini sur un autre.
Étant donné deux nombres entiers strictement positifs et , on note
  • le nombre de parties à éléments de l'ensemble , nul si ; on rappelle que pour ;
  • le nombre d'applications injectives de dans , nul si ;
  • le nombre d'applications surjectives de dans , nul si .
On posera aussi .

Première partie

  1. Préciser les valeurs de et .
  2. Montrer que l'on a si .
Pour tout entier , on note (resp. ) la matrice à lignes et colonnes de coefficients (resp. ) pour .
3.a) Montrer que l'on a, pour et :
3.b) Calculer le déterminant de la matrice de coefficients .

Deuxième partie

Pour tout entier , on désigne par l'espace vectoriel des polynômes à une indéterminée, à coefficients complexes, de degré . On le munit de la base ( ); on définit un endomorphisme de par
4.a) Déterminer les coefficients de la matrice représentant dans le base indiquée (ici .
4.b) Même question pour dont on démontrera l'existence.
4.c) Étant donné deux vecteurs lignes et satisfaisant et, pour ,
écrire les en fonction des .
4.d) Établir une formule de la forme
où et où les sont des coefficients à déterminer.
Dans la suite de cette seconde partie, on définit des éléments de , par
  1. Vérifier que les forment une base de .
  2. Démontrer la formule
7.a) Déterminer les coefficients de la matrice représentant l'endomorphisme dans la base ci-dessus.
7.b) Même question pour les coefficients de .
8. Écrire les formules donnant les polynômes , en fonction des polynômes .
[On pourra utiliser la formule de la question 3.a).]

Troisième partie

Étant donné deux entiers et , on désigne par
  • l'ensemble des applications de dans ;
  • l'ensemble des applications surjectives de dans , ensemble bien entendu vide si ;
  • l'ensemble des applications satisfaisant
  • le sous-ensemble du précédent formé des telles que pour tout (ici, ).
  1. Démontrer la «formule du multinôme », pour :
où sont des nombres réels.
[On pourra procéder par récurrence sur .]
10. Montrer que
  1. Montrer que, pour , on a

Quatrième partie

On considère une série entière à coefficients réels ; on suppose ; on note son rayon de convergence supposé non nul, et sa somme. Pour et entiers , on pose
  1. Indiquer un minorant du rayon de convergence de la série entière où ; déterminer la somme de cette série dans l'intervalle .
On considère une seconde série entière ; on note son rayon de convergence supposé non nul, et sa somme.
13. Montrer que la série entière a un rayon de convergence non nul, et préciser sa somme au voisinage de 0 .
14. On considère la fonction . Exprimer les coefficients de la série de Taylor de à l'aide des nombres .
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