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Polytechnique Mathématiques 2 MP 2009

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RéductionAlgèbre linéaireSéries et familles sommablesNombres complexes et trigonométrie, calculs, outilsSuites et séries de fonctions
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X-ENS
Année
2009
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2009MP MathsMaths 2009
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DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Endomorphismes d'espaces vectoriels de dimension infinie

Première partie

Pour tout nombre réel , on désigne par l'endomorphisme de l'espace vectoriel représenté par la matrice dans la base naturelle de notée .
  1. Construire une base ( ) de telle que chacun des ait une composante sur égale à 1 et , en outre, ayant les propriétés suivantes :
    1.a) Si , il existe un réel de module tel que
1.b) Si , on a une formule analogue, mais où est un nombre complexe de module 1 et de partie imaginaire , que l'on précisera.
1.c) Si , on a
1.d) Si , on a

Deuxième partie

On désigne par l'espace vectoriel des suites de nombres complexes et par l'endomorphisme de défini par
On s'intéresse au noyau de l'endomorphisme où est un nombre réel.
2.a) Vérifier qu'un élément de appartient à si et seulement si l'on a
2.b) Préciser la dimension de .
3. On suppose et on note et les composantes, dans la base de , du vecteur . Démontrer les assertions suivantes:
3.a) Si , on a
3.b) Si , on a
3.c) Si , on a
  1. On fixe un entier et on désigne par l'ensemble des de tels que l'on ait pour tout .
Dire pour quelles valeurs de le sous-espace n'est pas réduit à et, dans ce cas, en donner une base.

Troisième partie

On définit deux sous-espaces vectoriels de de la façon suivante :
  • est l'ensemble des éléments de tels que et on le munit de la norme
  • est l'ensemble des éléments de tels que et on le munit de la norme
  1. Étant donnés et , on pose
Vérifier que, pour tout (resp. tout ), l'application (resp. ) est une forme linéaire continue sur (resp. sur ) dont on précisera la norme.
6. Montrer que l'on a . Montrer que les endomorphismes et induits par respectivement sur et sont continus et de norme 2.
7. Démontrer les assertions suivantes:
7.a) Pour tout entier , tout et tout on a
et
7.b) Si , pour tout , la formule
a un sens et définit un endomorphisme bijectif de dont on précisera l'inverse.
8. Soit un nombre réel.
8.a) Déterminer .
8.b) Déterminer .
9. Dire pour quelles valeurs de le sous-espace image de est une partie dense de .
[On pourra évaluer pour et .]

Quatrième partie

Pour tout élément de on définit comme suit une fonction d'une variable réelle, continue, de période :
  1. Calculer , pour .
  2. Calculer .
  3. Calculer pour .
  4. Donner une nouvelle démonstration de la question 8.a).
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