(Durée : 4 heures)

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Les propriétés démontrées dans ce problème ont des applications à la mécanique classique et quantique et à l'optique géométrique.

Pour tout entier , on désigne par l'espace vectoriel des matrices réelles à lignes et colonnes, et l'on désigne par la matrice unité de . Si , on note l'endomorphisme de de matrice dans la base canonique. La transposée d'une matrice est notée . On note ( ) le produit scalaire canonique et la norme euclidienne de .

Pour tout entier pair , on considère la matrice définie par blocs par

a) Que peut-on dire du déterminant d'une matrice symplectique?
b) L'ensemble des matrices symplectiques est-il un groupe pour la multiplication?
c) La matrice est-elle symplectique ?
d) La transposée d'une matrice symplectique est-elle symplectique?
2. On écrit toute matrice par blocs, , où .
a) Montrer que la matrice est symplectique si et seulement si les matrices vérifient les conditions

b) Montrer que si est inversible, il existe telle que .

En déduire que, si est symplectique et inversible, alors .
c) Soient telles que est symétrique. On suppose qu'il existe , , et tels que et . Montrer que le produit scalaire ( ) est nul.
d) On suppose que est symplectique. Montrer que tout tel que et est nul. Montrer qu'il existe tel que est inversible. En déduire que det . [On pourra introduire la matrice et vérifier qu'elle est symplectique.]
3. Soit une matrice symplectique et soit son polynôme caractéristique.
a) Montrer que, .
b) Montrer que si est valeur propre de , de multiplicité , alors sont valeurs propres de , chacune de multiplicité .
c) Que peut-on dire de l'ordre de multiplicité de -1 et de 1 ?
d) On suppose dans cette question que . Donner des exemples de matrices symplectiques , diagonalisables sur et ayant
(1) une seule valeur propre;
(2) deux valeurs propres doubles distinctes;
(3) une valeur propre double et deux valeurs propres simples;
(4) quatre valeurs propres distinctes non réelles et de module .

Dans chaque cas, dessiner les valeurs propres dans le plan complexe, sur lequel on tracera d'abord le cercle de centre 0 et de rayon 1 .
e) Toute matrice symplectique est-elle diagonalisable sur ?

Soit un entier . On appelle forme symplectique sur une application qui est

où est l'adjoint de par rapport au produit scalaire euclidien. On pose

Montrer que est une forme symplectique sur si et seulement si est inversible.
b) Soit une forme symplectique sur . Montrer qu'il existe un endomorphisme de tel que la relation (1) soit vérifiée. Montrer que et que est inversible.
5. Montrer que s'il existe sur une forme symplectique, alors est pair.
6. On suppose dans cette question que . On pose

a) Montrer que est une forme symplectique sur .
b) Soit la base canonique de . Calculer .
c) Soit un endomorphisme de , et sa matrice dans la base canonique. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) ,
(ii) la matrice est symplectique.

Un endomorphisme de qui vérifie la propriété (i) ci-dessus est appelé endomorphisme symplectique.
7. Un endomorphisme de est dit stable si, pour tout , la suite est bornée, où désigne la composée de l'application avec elle-même fois.
a) Montrer que si un endomorphisme de a toutes ses valeurs propres distinctes et de module 1 dans , alors est stable.
b) Donner une condition nécessaire et suffisante sur pour que l'endomorphisme de de matrice dans la base canonique soit symplectique et stable.
c) Montrer que si un endomorphisme symplectique de possède une valeur propre dans de module , alors n'est pas stable.
8. On note les coordonnées de dans la base canonique. On considère les ensembles ,

où est un réel strictement positif.
a) On suppose . Montrer que pour tout , il existe un endomorphisme symplectique de tel que .
b) Soit un endomorphisme symplectique de et soit l'adjoint de par rapport au produit scalaire euclidien. Montrer que ou bien , ou bien .

En déduire que, si , il n'existe aucun endomorphisme symplectique de tel que .