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Polytechnique Mathématiques 2 PC 2002

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Algèbre linéaireTopologie/EVNAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensAlgèbre générale
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X-ENS
Année
2002
Filière
PC
Matière
Maths
X-ENS PCX-ENS 2002PC MathsMaths 2002
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ÉCOLE POLYTECHNIQUE

ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Ce problème a pour but principal l'étude des coefficients diagonaux des diverses matrices semblables à une matrice donnée.
On désigne par un entier , par l'espace des matrices à coefficients réels, à lignes et colonnes, et par la matrice identité; on appelle scalaires les matrices de la forme où est un réel. On rappelle que deux matrices et sont dites semblables s'il existe une matrice inversible vérifiant , c'est-à-dire si et représentent un même endomorphisme de dans deux bases de .

Première partie

  1. Démontrer les assertions suivantes:
    a) Si une matrice est non scalaire, il existe un vecteur de , non nul et non vecteur propre pour .
    b) Soit et . Il existe une matrice semblable à telle que

Deuxième partie

  1. On se donne une matrice de de trace nulle et on se propose de démontrer qu'il existe une matrice semblable à ayant tous ses coefficients diagonaux nuls.
    a) Montrer que si est non nulle, il existe une base ( ) de telle que .
    b) Conclure en procédant par récurrence sur .
  2. Applications numériques. Dans chacun des cas considérés, on indiquera une matrice répondant à la question et une base qui lui correspond.
    a) est diagonale avec coefficients diagonaux .
    b) est diagonale avec coefficients diagonaux .
  3. Soit une matrice de non scalaire. Montrer qu'il existe une matrice semblable à avec coefficients diagonaux de la forme , et exprimer en fonction des coefficients diagonaux de .
  4. Soit une matrice de non nulle. Montrer qu'il existe une matrice semblable à avec coefficients diagonaux tous non nuls.

Troisième partie

On dira que deux matrices et de sont orthosemblables s'il existe une matrice orthogonale vérifiant , c'est-à-dire si et représentent un même endomorphisme de dans deux bases orthonormales de . Pour toute matrice on pose
On se donne une matrice et on se propose de démontrer qu'il existe une matrice , orthosemblable à et ayant tous ses coefficients diagonaux égaux.
6. Démontrer l'assertion dans le cas où .
7. On suppose maintenant quelconque et les non tous égaux.
a) Montrer qu'on peut supposer .
b) Construire une matrice , orthosemblable à et telle que
c) Construire une matrice , orthosemblable à et telle que .
On désigne par l'ensemble des matrices orthogonales, et par celui des matrices orthosemblables à .
8.a) Montrer que est une partie compacte de .
b) Montrer que la restriction de la fonction à atteint son minimum.
c) Conclure.
9. Application numérique. On prend et diagonale avec coefficients diagonaux ; on note les matrices successives obtenues par la méthode précédente, de sorte que
Déterminer et les coefficients diagonaux de .

Quatrième partie

On munit de son produit scalaire usuel noté et de la norme correspondante . Pour toute matrice de on pose
  1. Démontrer les assertions suivantes:
    a) contient les valeurs propres réelles de ainsi que ses coefficients diagonaux.
    b) est un intervalle fermé borné de .
    c) Si est symétrique et de trace nulle, le nombre 0 appartient à .
  2. Montrer que si la trace de appartient à , il existe une matrice orthosemblable à avec coefficients diagonaux .

Cinquième partie

On note l'ensemble des valeurs propres d'une matrice .
12. On se donne une matrice non nulle de et on note une matrice semblable à ayant tous ses coefficients diagonaux non nuls.
a) Trouver une matrice telle que l'on ait
b) Construire une matrice non nulle telle que l'on ait
  1. On désigne par une application linéaire de dans lui-même qui transforme toute matrice inversible en une matrice inversible.
    a) Vérifier que l'on a
b) Montrer que l'application est inversible.
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