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Polytechnique Mathématiques PC 2005

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensAlgèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Séries entières (et Fourier)Polynômes et fractions
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X-ENS
Année
2005
Filière
PC
Matière
Maths
X-ENS PCX-ENS 2005PC MathsMaths 2005
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COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
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Polynômes orthogonaux et équations différentielles

Première partie

Dans cette partie on désigne par un espace préhilbertien réel, par ( ) son produit scalaire et par la norme correspondante. On note le sous-espace vectoriel orthogonal d'une partie de .
  1. Dans cette question on suppose de dimension finie, on se donne un sous-espace vectoriel de , un vecteur de n'appartenant pas à , et un nombre réel . On note le projecteur orthogonal .
Construire un élément de et un réel tels que l'élément soit orthogonal à et satisfasse les deux conditions suivantes :
Démontrer l'unicité du couple ( ) et comparer avec la projection orthogonale de sur .
2. Soit un entier, . Soit ( ) une famille libre de vecteurs de et soit une famille de nombres réels strictement positifs. Pour tout , on désigne par le sous-espace vectoriel de engendré par la famille ( ). Montrer qu'il existe une unique base ( ) de vérifiant les conditions suivantes : ; pour tout ; pour tout et .

Deuxième partie

Dans cette partie on désigne par un intervalle fermé borné de non réduit à un point, par l'espace vectoriel des fonctions réelles continues sur , par le sous-espace vectoriel de formé des restrictions de fonctions polynomiales, et par celui des restrictions de fonctions polynomiales de degré . On se donne une forme linéaire sur telle que soit positif ou nul si est positive ou nulle, et strictement positif si de plus n'est pas identiquement nulle. On note encore ( ) une suite de nombres réels strictement positifs.
3. Démontrer les assertions suivantes :
a) La formule définit un produit scalaire sur .
b) Il existe une unique suite de polynômes ( ) de satisfaisant les conditions suivantes :
  • appartient à et le coefficient de dans , qu'on notera , est strictement positif;
  • si ;
  • .
    4.a) Montrer qu'il existe, pour tout , des réels , tels que l'on ait
b) Exprimer en fonction de et , puis en fonction de .
5. On se propose ici de démontrer que, pour , tous les zéros de sont réels, simples et contenus dans l'intervalle ouvert . Pour cela on examinera les deux possibilités suivantes :
a) Il n'existe aucun zéro de , contenu dans , de multiplicité impaire; dans ce cas, on calculera ;
b) Il existe de tels zéros, que l'on note (chacun étant compté une seule fois); dans ce cas, on calculera où .
6. Dans cette question on fixe un entier ; on note les zéros de ; pour tout de , on écrit la division euclidienne de par .
a) Vérifier que et appartiennent à .
b) On définit des polynômes , par
Vérifier que l'on a
c) Déterminer des réels tels que l'on ait, pour tout de :
d) Quel est le signe de ?

Troisième partie

Dans cette partie on prend pour tout , et pour tout de . On considère les fonctions définies par et pour ,
  1. Préciser le degré de et calculer . [On pourra utiliser la formule de Leibniz donnant .
  2. Montrer que est proportionnel au polynôme introduit à la question 3.b). [On ne demande pas de préciser le coefficient de proportionnalité].
On désigne par l'espace vectoriel des fonctions réelles deux fois continûment dérivables sur [ et par l'application linéaire de dans définie par
  1. Vérifier que est proportionnel à .
  2. Déterminer les vecteurs propres et valeurs propres de l'endomorphisme de , restriction de à .
  3. On fixe un nombre réel et on s'intéresse aux solutions de l'équation différentielle
qui sont développables en séries entières de la forme .
a) Écrire une relation de récurrence entre et .
b) Étudier la convergence des deux séries entières, paire et impaire : et . Dire dans quels cas ce sont des polynômes et reconnaître ces polynômes.
c) Décrire l'espace des solutions de (1) dans .
d) Que se passe-t-il si l'on remplace l'intervalle ouvert ] - 1,1 [ par l'intervalle fermé ?
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