(Durée : 4 heures)

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Si est une fonction continue de dans , -périodique, on note, pour tout , son -ième coefficient de Fourier par

On note le disque fermé du plan complexe de centre 0 et de rayon .

On pourra se servir du résultat suivant, admis sans démonstration. Si est une matrice carrée de taille à coefficients complexes, alors

(inégalité de Hadamard).

Première partie : étude de quelques équations intégrales

1a. Posons . Écrire une relation simple exprimant en fonction de et .

1b. En déduire que si possède une et une seule solution que l'on explicitera.
2. Soient et deux fonctions de dans -périodiques, étant de classe et de classe . Considérons l'équation intégrale de paramètre et de fonction inconnue continue et -périodique :

2a. Soit une fonction de dans continue, -périodique. Montrer que la fonction définie sur par

est continue, -périodique et que ses coefficients de Fourier vérifient

2b. Montrer que si est tel que pour tout , l'équation possède une et une seule solution dont on donnera le développement en série de Fourier.
3. Considérons l'équation intégrale de paramètre et de fonction inconnue de classe :

Montrer que si est solution de vérifie une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants. En déduire les solutions de .

4a. Soit un endomorphisme d'un -espace vectoriel vérifiant . On note l'identité de . Montrer que lorsque , l'endomorphisme de est inversible et donner son inverse.

4b. On note l'espace des fonctions continues sur à valeurs complexes. Considérons l'opérateur :

Montrer que est linéaire et vérifie . Montrer que si , Id est inversible et retrouver le résultat de la question 1b.
5. On note l'espace des fonctions continues sur à valeurs complexes et périodiques. Plaçons-nous sous les hypothèses de la question , et considérons l'opérateur :

5a. Montrer que est linéaire et que ses valeurs propres sont les .
5b. Supposons que pour tout . Proposer une condition suffisante pour que soit inversible.

Dans la suite du problème, on considère un intervalle fermé borné , une fonction continue , et une fonction continue . On note . On considère l'équation intégrale de paramètre et de fonction inconnue

Posons, pour ,

et par récurrence, pour tout entier .
Posons pour .
6a. Montrer que les fonctions sont bien définies et continues.
6b. Montrer qu'il existe un réel tel que la série converge normalement sur . (On pourra majorer indépendamment de et dans en fonction de la constante introduite plus haut.)

6c. Pour tout et , posons . Montrer que est bien définie, continue sur et que

En déduire que pour tout de module strictement plus petit que est solution de l'équation ( ).

Le but de la fin du problème est de montrer l'existence (sous certaines conditions) d'une solution de en dehors du disque .

Soit un entier naturel non nul. Notons pour dans l'intervalle ,

le déterminant de la matrice dont le coefficient de la -ième ligne et -ième colonne est .
7. Montrer que
, et en déduire que

Définissons pour tout entier naturel non nul , et tout entier , par

et, pour tout ,

Posons aussi et si , puis , et si .
8. Montrer que pour tout ,

(On intégrera chacun des termes de la formule obtenue en par rapport à des variables judicieusement choisies, dans un ordre judicieusement choisi.)
9. Montrer que la série entière a un rayon de convergence infini. (On pourra majorer en partant de la majoration et utiliser l'inégalité de Hadamard rappelée dans le préambule).
10. On fixe . Pour tout entier , majorer pour tout par une constante qui soit le terme général d'une série convergente.
11. Considérons la série entière .

Établir l'égalité .
12. En déduire que pour tout tel que ,

est l'unique solution de l'équation intégrale ( ).