Polytechnique Physique 1 PC 2004

(Durée : 4 heures)
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L'héliosismologie - l'étude sismique du Soleil - a pris son essor au cours des années 1970 lorsque l'on s'est aperçu que les raies du spectre solaire étaient modulées à des périodes de l'ordre de 5 minutes, et que cette modulation était due aux oscillations globales du Soleil. Ces oscillations sont de type acoustique.

Le but de ce problème est d'analyser dans le cadre de modèles très simplifiés, la propagation de ces ondes acoustiques à l'intérieur d'un astre fluide et sphérique tel le Soleil.

Dans tout le problème, on supposera que le Soleil possède la symétrie sphérique, et on négligera sa rotation propre. Sa composition sera assimilée à celle d'un gaz parfait monoatomique de masse molaire .

On cherche à estimer l'ordre de grandeur de la pression , de la masse volumique et de la température au centre du Soleil. On admettra que l'étoile n'est composée que d'hydrogène atomique et d'hélium, et que la concentration en hélium est uniforme dans toute l'étoile.
a) Estimer, par analyse dimensionnelle, l'ordre de grandeur de la pression au centre d'un astre de masse et de rayon soumis à sa propre gravité. Calculer dans le cas du Soleil.
b) On désigne par l'énergie cinétique du gaz parfait monoatomique de masse molaire constituant l'étoile et par l'énergie potentielle interne de gravitation de cet astre; on admettra la relation que donne le théorème du viriel.

Trouver, à l'aide d'une simple analyse dimensionnelle, une expression de l'énergie de gravitation ; écrire l'expression de l'énergie cinétique du gaz stellaire en supposant, pour cette question seulement, que la température du gaz stellaire est uniforme. En déduire l'ordre de grandeur de la température du gaz que l'on assimilera à la température au centre de l'astre ainsi que l'ordre de grandeur de la masse volumique centrale . Calculer ces deux valeurs dans le cas du Soleil.

a) désignant le champ de gravitation au sein de l'astre, donner l'expression de son module au niveau repéré par la variable radiale , en fonction de la masse de la boule de rayon .
b) Montrer que, dans le cas du Soleil, dont la période de rotation moyenne est de l'ordre de 27 jours, négliger la rotation est tout à fait licite.

Pour toute la suite du problème on supposera que le module du champ gravitationnel est uniforme dans toute l'étoile.

On note la pression d'équilibre au niveau et le module, uniforme dans toute l'étoile, du champ de gravitation. On suppose de plus que la structure interne de l'astre est adiabatique, l'indice adiabatique étant pris lui aussi uniforme dans toute l'étoile : . Afin d'alléger les calculs on notera la constante de proportionnalité sous la forme étant une autre constante et on définira la profondeur dans l'astre par .
a) Pour quelle raison physique peut-on exclure de l'étude le cas ?
b) Exprimer en fonction de et et calculer sa valeur dans le cas du Soleil.
c) Écrire l'équation locale exprimant l'équilibre au sein de l'astre. En déduire les expressions de et . Donner l'allure des graphes correspondants.
d) La célérité d'une onde acoustique dans un fluide, de pression et de masse volumique est donnée par , dans l'hypothèse d'adiabaticité et la dérivée étant prise à l'état d'équilibre. L'exprimer pour le Soleil en fonction de et . Montrer que, à l'intérieur du

Soleil, la valeur de cette grandeur dépend de la profondeur selon la loi :

Calculer numériquement la vitesse du son au centre du Soleil, en prenant .
e) Le Soleil possède une température de surface ; en déduire dans quelle partie de l'astre solaire le modèle précédent décrivant l'évolution de avec la profondeur est mis en défaut. Déterminer les expressions de la vitesse du son minimale et de l'ordre de grandeur de l'épaisseur de la couche dans laquelle le modèle n'est plus applicable. Calculer numériquement leurs valeurs avec .

Dans les couches périphériques de l'étoile, on modélise localement le milieu stellaire par une structure de plans parallèles. On repère une couche par sa profondeur . On s'intéresse aux petites perturbations des champs de pression et de masse volumique, de valeurs à l'équilibre et . Par souci de généralité, on mènera les calculs avec les fonctions et et non avec leurs expressions analytiques fonctions de établies précédemment. On ne se servira de ces dernières expressions que dans les cas particuliers explicitement mentionnés.

On considère des ondes planes de propagation verticale; les perturbations des champs de vitesse verticale , de pression et de masse volumique , sont définies par :

a) Écrire l'équation du mouvement d'une particule fluide soumise aux seules forces de gravité et de pression. La linéariser; le terme convectif de l'accélération sera supposé négligeable.
b) Que traduit l'équation : ?
c) L'évolution locale du gaz est supposée adiabatique avec . En déduire par linéarisation la relation

où est la célérité locale des ondes acoustiques introduite en I.3.d).
d) Déduire des relations précédentes l'équation décrivant la propagation du champ de masse volumique :

e) Développer cette équation en explicitant obtenu en I.3.d).

a) En prenant , vérifier que l'équation d'évolution de admet comme solutions des ondes progressives de la forme générale .

Dans la suite du problème, on conserve .
b) étant de la forme , montrer que est nul à la surface. Quelle en est la conséquence pour une onde progressive arrivant en surface?
c) On considère une onde monochromatique de pulsation de la forme . Dans quel type d'onde peut-on la classer? Expliciter en désignant par l'amplitude maximale de l'onde.
d) En déduire l'expression correspondante de . Quelle est la particularité que présente en fonction de l'amplitude de l'onde de pression?
e) Déterminer l'expression de l'onde de vitesse associée . Quelles particularités observez-vous tant sur sa dépendance temporelle que spatiale? Montrer que l'amplitude de atteint une limite finie à la surface, en .

a) À partir du niveau défini en I.3.e), et jusqu'à des altitudes positives , l'atmosphère stellaire est supposée isotherme à l'équilibre, et la vitesse des ondes sonores y prend la valeur . Écrire l'équation d'évolution de valable dans cette zone. Pour des ondes sinusoïdales, montrer qu'il existe une pulsation limite séparant les ondes qui pénètrent dans cette zone de celles qui n'y pénètrent pas. Calculer numériquement et la période associée.
b) Les régions visibles de l'atmosphère stellaire étant au voisinage de , quel effet physique permet de percevoir le champ de vitesse ? Quel type de mesure permet d'y avoir accès? Le comportement du champ est-il favorable à une telle mesure?

Dans les couches internes de l'étoile il n'est plus possible de négliger la structure sphérique. On suppose que l'onde est sinusoïdale, localement plane et on admet que la vitesse de phase est donnée par l'expression obtenue en I.3.d), avec Pour une étude simple, on utilise une description en termes de « rayons acoustiques ». Pour les applications numériques, on prend .

Par analogie avec l'optique, on définit l'indice acoustique local du milieu comme le rapport de la vitesse du son au centre de l'astre à la vitesse du son locale :

a) Rappeler les lois de la réfraction. Montrer qu'elles impliquent, dans le cadre du modèle « plan parallèle » où l'indice n'est fonction que de la coordonnée cartésienne , la conservation de où est l'angle d'incidence. Pour un déplacement élémentaire le long du rayon, exprimer la variation de l'angle d'incidence en fonction de et .
b) Dans une situation à symétrie sphérique, montrer qu'un rayon acoustique se propage en restant dans un plan passant par le centre (plan diamétral).
c) De plus, à la variation de l'angle d'incidence calculée ci-dessus et désignée par , s'ajoute une autre contribution d'origine purement géométrique . Exprimer en fonction de et .
d) Déduire de ces résultats la conservation de la quantité le long du rayon acoustique.
e) En déduire que la relation précédente implique, sauf dans le cas où est nul, l'existence d'un niveau limite en dessous duquel il n'y a plus de propagation verticale de l'onde. Quelle est la direction du rayon acoustique à ce niveau?

a) Soit l'équation polaire d'un rayon acoustique. À partir des résultats précédemment obtenus, justifier qu'un rayon acoustique associé à une valeur de fixée est constitué d'arcs successifs contenus dans une couronne de rayons et que l'on identifiera. Que subit le rayon acoustique respectivement en et ?
b) Montrer que, dans la partie II, il était justifié de supposer verticale la propagation dans les couches supérieures de l'étoile.
c) On pose , où et sont les angles polaires correspondants aux extrémités d'un arc. Un mode correspond à une trajectoire du rayon acoustique fermée sur un tour. ne peut alors prendre que des valeurs discrètes que l'on déterminera en fonction d'un nombre entier .
d) On montre que ne dépend que du rapport , soit pour le mode . De plus, en considérant l'aspect ondulatoire de la propagation, un mode correspond à une onde stationnaire présentant des nœuds de en surface (cf. II.2.b). Soit le temps de propagation de la phase de l'onde le long d'un arc du mode est donné par où est un facteur numérique ne dépendant que de .

Dans ces conditions, montrer qu'au mode correspondent des ondes stationnaires de diverses périodes sous-multiples d'une période fondamentale ; exprimer en fonction de .
e) Le tableau ci-dessous donne les valeurs de et de pour quelques valeurs de . Calculer les valeurs correspondantes des périodes .

f) Représenter sur un schéma en coupe de l'intérieur stellaire, l'allure des rayons associés aux modes d'ordre et . Quels modes fourniront des informations sur la structure du centre de l'astre? Lesquels seront surtout sensibles aux propriétés des couches périphériques?

On définit la fréquence caractéristique des oscillations du Soleil par :

a) D'après la définition de cette fréquence, quel phénomène physique a pour durée la période ?
b) Le profil de la célérité du son étant toujours celui trouvé en partie I), montrer que la valeur de est dominée par les couches périphériques de l'astre. Déterminer en fonction de et . Calculer la période associée dans le cas du Soleil.
c) Montrer que nécessairement, le centre du Soleil correspond pour l'oscillation à un nœud de vitesse. On note la fréquence propre du mode d'oscillation stationnaire présentant radialement nœuds d'oscillation pour la vitesse (centre exclu).

Une première estimation des modes radiaux consiste à déterminer les pulsations pour lesquelles où est un entier positif ou nul ; donner une justification de cette expression. Montrer que cette relation donne des modes d'oscillations radiales de fréquences :

Les modes excités du Soleil qui sont observés ont des périodes voisines de 5 minutes. Quel est l'ordre moyen de ces modes radiaux?