(Durée : 4 heures)

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Les nuages de gaz interstellaire que l'on trouve dans l'univers peuvent s'effondrer sous l'effet de leur propre champ gravitationnel et donner lieu à des structures denses, dont la stabilité même n'est pas nécessairement assurée. L'objet de ce problème est d'analyser certaines situations conduisant à ce phénomène.

On admettra qu'une distribution de masse caractérisée par une masse volumique donne lieu à un champ gravitationnel dérivant d'un potentiel avec et tel que .

I. 1 Si l'on cherche à déterminer le champ gravitationnel résultant d'une distribution de masse volumique , on peut s'appuyer sur une analogie électrostatique. Préciser, dans le cadre de cette analogie, les quantités qui jouent les rôles de , de et de .
I. 2 Soit une boule de rayon centrée à l'origine des coordonnées, dont la distribution de masse est à symétrie sphérique. Soient la masse volumique, la masse de la boule de rayon (pour ) et la masse totale.
I.2.1 Déterminer, pour , le champ gravitationnel produit par cette boule de matière.
I.2.2 Déterminer de même, pour , le champ gravitationnel à l'aide de .
I. 3 Soit une boule gazeuse de masse volumique uniforme, de masse et de rayon , initialement au repos. Elle s'effondre sous l'effet de son propre champ gravitationnel. On suppose que ce mouvement garde à tout moment la symétrie sphérique; on fait l'hypothèse qu'un élément quelconque du milieu gazeux, de masse , initialement à la distance , a un mouvement de chute libre, c'est-à-dire qu'il n'est soumis qu'à la force de gravitation du gaz situé initialement à une distance du centre inférieure à et qui se contracte.
I.3.1 On rappelle la loi de Kepler reliant, dans le cas d'une trajectoire elliptique d'un corps attiré par une masse ponctuelle , la période au demi-grand axe :

En déduire l'expression de la durée de chute jusqu'à l'origine en fonction de et . Cette durée dépend-elle de ?
I.3.2 Calculer pour et (valeurs correspondant au Soleil).

Même calcul pour un nuage intergalactique sphérique, de rayon fois celui du Soleil et possédant dix atomes d'hydrogène par .
I.3.3 Quelle force antagoniste, non prise en compte, peut freiner un tel effondrement et éventuellement l'arrêter?
I. 4 On suppose que le gaz de la boule précédente possède une température moyenne non nulle. Ce gaz est supposé parfait, monoatomique et de masse molaire .
I.4.1 Donner l'expression de l'énergie cinétique totale du gaz en fonction de et de la constante des gaz parfaits .
I.4.2 L'énergie potentielle de gravitation de la boule est donnée par :

Si , on montre qu'un effondrement s'amorce. Déterminer le rayon critique tel que, à fixé et pour , ce phénomène se produit. Exprimer en fonction de , et des constantes et .
I.4.3 Soit la vitesse des ondes acoustiques dans le gaz et une estimation du temps mis par une perturbation acoustique pour aller de la surface au centre. Expliciter en fonction de et et exprimer .

Montrer que est supérieur à pour où est une distance que l'on explicitera en fonction de , et des constantes et . Quelle interprétation dynamique vous suggère la comparaison de et ?

On s'intéresse dans cette partie aux propriétés d'une étoile dense, comme le Soleil, que l'on décrira comme une boule de gaz parfait à symétrie sphérique de masse totale . On reprend les notations de la partie et on en utilisera les résultats.
II. 1 On suppose la distribution à l'équilibre.
II.1.1 Exprimer, à l'aide de et , la force de gravitation par unité de volume à la distance du centre.
II.1.2 Dans le fluide règne une pression locale avec à la surface. Exprimer la condition d'équilibre; en déduire .
II. 2 On s'intéresse à l'aspect énergétique. Soit l'énergie potentielle de gravitation de toute la boule et la contribution à cette énergie de la couche sphérique de masse située entre et .
II.2.1 Exprimer à l'aide de et de .
II.2.2 Montrer que s'écrit .
II.2.3 Montrer que où est le volume de la couche sphérique comprise entre et .
II. 3 Rappeler l'expression de l'énergie interne molaire d'un gaz parfait en fonction de la capacité thermique molaire et de la température thermodynamique . Soit . Exprimer en fonction de , de et de la constante des gaz parfaits .
II. 4 Déduire de cette expression et de la précédente une relation entre et l'énergie interne totale du gaz. On supposera que est uniforme.
II. 5 Exprimer l'énergie totale de la boule en fonction de . Déterminer à quelle condition portant sur l'étoile est stable.
II. 6 Que devient la relation entre et obtenue en II. 4 pour . À quel type de gaz correspond cette valeur? À quelle forme d'énergie correspond alors ?
II. 7 Si la température croît, écartant un peu le système de l'équilibre, les réactions nucléaires s'accroissent et fournissent plus d'énergie. En utilisant II.5, comment interprétez-vous le retour à l'équilibre, donc la stabilité, du Soleil?

On suppose que l'univers est constitué de matière que l'on traitera comme un fluide non visqueux, caractérisé par un champ de masse volumique , un champ de vitesse et un champ de pression . On appellera le champ gravitationnel local.

On suppose qu'en plus de la pression et de la gravitation, il existe une autre force extérieure de densité volumique caractérisée ici par le champ vectoriel .
III. 1 Écrire l'équation locale traduisant la conservation de la masse.
III. 2 Écrire l'équation d'Euler traduisant localement le principe fondamental de la dynamique.
III. 3 Écrire l'équation locale reliant et .
III. 4 On suppose que le milieu est suffisamment dilué pour négliger la pression : . On considère à un instant une région de masse volumique uniforme et au repos: ; on note le champ gravitationnel dans cette région, et on suppose .
III.4.1 Montrer que et est solution des équations précédentes pour (solution statique).
III.4.2 À un instant donné, cette région est soumise à une perturbation; son état est alors caractérisé par le champ de vitesse , la masse volumique et le champ ; on suppose toujours et .

Exprimer les trois équations qui relient et . Les linéariser par rapport à ces trois variables. En déduire l'équation satisfaite par .

Qu'en concluez-vous sur l'évolution de la perturbation? Préciser le temps caractéristique d'évolution.
III. 5 La croissance d'une perturbation crée progressivement une surpression .
III.5.1 Écrire l'équation d'Euler en tenant compte de cette pression et la linéariser.
III.5.2 La pression et la masse volumique du fluide sont liées par l'équation d'état . Montrer que est solution de l'équation : où on exprimera en fonction de .
III.5.3 On cherche alors des solutions de l'équation précédente sous la forme . Exprimer la relation de dispersion donnant en fonction de .
III.5.4 Montrer qu'il existe un nombre d'onde critique tel que, pour , les perturbations sont exponentiellement amplifiées. Exprimer la longueur caractéristique associée en fonction de et .

Comparer cette longueur aux rayons et déterminés en I.4.2 et I.4.3.
III.5.5 On désigne par masse de Jeans et on note la masse de la boule de rayon . En donner l'expression. Traduire la stabilité du fluide par une condition sur sa masse totale et sur .

L'Univers est en expansion uniforme. Une origine étant choisie (arbitraire, l'espace étant homogène et isotrope) et un repère d'observation déterminé, soit le vecteur position d'un point matériel de l'espace à l'instant de référence . À un instant , ce point matériel se trouve en où est un facteur d'échelle universel, avec . Il est donc en mouvement dans avec la vitesse .

Dans cette partie, on suppose .
IV. 1 On considère deux points matériels et repérés respectivement par et . Expliciter leur vitesse relative . En déduire que tout point, par exemple , peut être choisi comme « centre » de l'expansion.
IV. 2 La matière constituant l'univers est, comme en III.4, considérée comme un fluide non visqueux de masse volumique uniforme , de pression mais animé dans d'une vitesse locale .
IV.2.1 L'équation obtenue en III. 1 est satisfaite par la solution où on a posé . Montrer que l'intégrale de sur une boule de rayon est une constante au cours du temps. Quelle propriété physique ce résultat traduit-il?
IV.2.2 Montrer que l'équation obtenue en III. 2 est satisfaite par à condition que soit une constante que l'on précisera.
IV.2.3 Une solution , correspondant à un modèle cosmologique particulier, est telle que . Déterminer cette solution en cherchant pour une dépendance temporelle de la forme .
IV.2.4 Exprimer en fonction de .

On pose . Exprimer en fonction de .
Pourquoi appelle-t-on « âge de l'univers » ? Calculer l'âge que donne ce modèle avec la valeur de que permet d'obtenir l'expérience : . Le parsec (symbole « pc») est une unité de longueur couramment utilisée en astronomie et adaptée aux grandes échelles de distance : année-lumière ; son multiple Mpc est le mégaparsec.
IV.3. On cherche à déterminer l'évolution temporelle d'une perturbation, l'état de base étant celui étudié en question IV. 2 et caractérisé par . On pose :

et on ne retiendra dans les équations que les termes linéaires en et .
IV.3.1 En utilisant l'opérateur de dérivation à l'ordre zéro : , montrer que l'équation de conservation de la masse (cf.III.1) conduit à :

On pose et . Montrer que .
IV.3.2 Montrer de même que l'équation d'Euler (cf. III.2) conduit à l'équation :

IV.3.3 Écrire l'expression reliant et . Cette relation forme avec les deux équations obtenues aux questions précédentes un système fermé. En éliminant et , montrer que satisfait l'équation différentielle :

Indication. On utilisera le fait que évoluant proportionnellement à , on a pour tout champ de vecteur :

IV.3.4 En utilisant l'expression de et celle de obtenue en IV.2.3 expliciter l'équation différentielle de . L'équation admet des solutions de la forme ; en donner la solution générale.

Qu'en concluez-vous sur l'évolution temporelle d'une perturbation? La comparer à celle obtenue en III.5.4.