J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Version interactive avec LaTeX compilé

Télécharger PDF

Polytechnique Physique 2 PC 2004

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Logo x
🔗 Explorer
Banque
X-ENS
Année
2004
Filière
PC
Matière
Physique
X-ENS PCX-ENS 2004PC PhysiquePhysique 2004
2025_09_04_c1b0b973d1b36308061cg

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2004

filière PC

DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

Lévitation magnétique

Le but de ce problème est d'interpréter certaines expériences de lévitation conduites récemment sur des substances dites diamagnétiques comme l'eau, le graphite, les matières plastiques... Ces expériences sont rendues possibles à température ordinaire grâce à l'obtention de champs magnétiques élevés, supérieurs en général à 10 T .
Dans tout le problème, le référentiel du laboratoire, noté (R), est supposé galiléen, Oxyz en étant un repère orthonormé. C'est le référentiel unique d'étude des parties II, III et IV.

Formulaire

En coordonnées cylindriques , les composantes d'un vecteur sont notées .
Identité vectorielle :
On note la norme de tout vecteur

Composition des accélérations

étant un référentiel en rotation par rapport au référentiel à la vitesse angulaire constante autour d'un axe fixe passant par l'origine :
Force exercée par un champ magnétique non uniforme sur un moment magnétique :

Données numériques :

ééééééé

I. Champ magnétique et orbites électroniques

Un noyau fixe, de charge , est placé en . Un électron de charge , soumis à l'interaction électrostatique du noyau, décrit une trajectoire circulaire ( ) de rayon .
1.a) Écrire l'équation du mouvement de l'électron dans et donner sa pulsation en fonction de , et .
b) En assimilant la trajectoire ( ) à une spire de courant, donner la relation entre le moment cinétique de l'électron par rapport à et le moment magnétique associé à .
c) Application numérique. Calculer et pour et .
2. On applique à ce système un champ magnétique , uniforme et constant.
a) Écrire dans ( ) l'équation du mouvement de l'électron.
b) On considère un référentiel ( ), lié au repère , en rotation par rapport à , à la vitesse angulaire constante. Écrire l'équation du mouvement de l'électron dans ce référentiel.
c) Déterminer , en fonction de et , pour que ne contienne plus de terme linéaire en . Calculer la valeur correspondante de pour .
d) Expliciter les termes d'ordre que contient alors . Évaluer numériquement leur importance relative dans l'équation en utilisant les résultats numériques de 1.c). Ils seront par la suite négligés. Montrer que dans ces conditions il y a identité formelle des équations et .
e) On considère le cas où est orthogonal à ( ). En admettant que la trajectoire n'est pas modifiée par la présence du champ, déterminer la variation du moment cinétique par rapport à et due à l'introduction du champ. Quelle est la variation associée du moment magnétique?
f) Calculer numériquement pour et les valeurs données en 1.c).
3. L'établissement du champ magnétique, s'effectue en réalité sur une durée très longue devant la période du mouvement électronique. Soit la valeur instantanée du champ, avec et pour . On le suppose orthogonal à ( ) à tout instant.
a) Donner l'expression du flux de à travers un cercle de rayon et d'axe , puis celle de la f.é.m induite le long de la circonférence de ce cercle. En déduire la composante orthoradiale du champ électrique induit.
b) Écrire l'équation d'évolution temporelle de . En déduire que est une constante du mouvement.
c) Montrer que la variation que l'on peut en déduire est compatible avec celle obtenue en 2.e) si l'on admet que la trajectoire n'est pas modifiée.
4. Un corps solide ou liquide contient atomes identiques par unité de volume; le noyau de chaque atome contient protons et neutrons.
a) On suppose que les différentes orbites électroniques de l'atome ont des orientations telles que le moment magnétique électronique total est nul en l'absence de champ magnétique. En supposant valable pour l'ensemble du cortège électronique l'équivalence de l'application du champ magnétique et de la rotation à la vitesse angulaire déterminée en 2.c), montrer que l'atome acquiert sous l'effet d'un champ un moment magnétique donné par :
où désigne une moyenne sur les différentes orbites électroniques repérées par rapport au centre de l'atome.
b) désignant la perméabilité relative d'un matériau, on pose étant appelé la susceptibilité magnétique. Dans le cas où ,justifier que l'on puisse adopter la relation approchée où est le champ magnétique externe appliqué et le vecteur aimantation du corps.
c) Application numérique. En supposant cette hypothèse vérifiée, calculer pour un corps de masse volumique , avec et .

II. Lévitation dans un champ magnétique à symétrie de révolution

  1. Un champ magnétique statique possède la symétrie de révolution autour de l'axe dans une région où le vecteur densité de courant est nul. On cherche à préciser analytiquement ce champ au voisinage de cet axe de symétrie, en utilisant un système de coordonnées cylindriques .
    a) Écrire les équations satisfaites par au voisinage de l'axe .
    b) Compte tenu des propriétés de symétrie du champ , quelles en sont les composantes non nulles et de quels paramètres dépendent-elles?
    c) Soit un point de l'axe de cote et un point situé au voisinage immédiat de . Vérifier que le développement en série de Taylor limité au deuxième ordre (inclus) en et du champ magnétique :
satisfait aux équations du champ.
d) Exprimer les coefficients et en fonction de et .
e) Montrer que l'expression de , en se limitant au deuxième ordre (inclus) en et , a pour expression
  1. L'axe est vertical. On place au point un corps homogène, de volume , de masse volumique et de susceptibilité magnétique . Il est soumis au champ magnétique précédent et au champ de pesanteur.
    a) Montrer que si , la force qu'exerce le champ magnétique sur le corps « dérive » d'une énergie potentielle donnée par :
le volume du corps étant considéré comme assez petit pour prendre la valeur de au point comme sa valeur moyenne sur le corps.
b) Soit l'énergie potentielle totale du corps; en donner l'expression à l'ordre 2 inclus en et .
c) On souhaite que soit un point d'équilibre. Déduire de l'équation implicite qui permet de déterminer .
d) Écrire les conditions de stabilité de cet équilibre en fonction de et .
e) Dans le cas d'un corps paramagnétique ( ), montrer que l'équilibre est toujours instable.
f) Dans le cas d'un corps diamagnétique ( ), préciser les conditions de stabilité. Donner les expressions donnant les pulsations et des petits mouvements autour de la position d'équilibre en fonction de et et .

III. Lévitation diamagnétique au voisinage d'une spire

  1. Le champ magnétique est créé par une spire circulaire d'axe vertical étant le centre de la spire, de rayon . Elle est parcourue par un courant constant d'intensité .
    a) Calculer le champ magnétique en tout point de l'axe .
    b) Déterminer les expressions de et de en fonction de , et .
    c) Montrer que la lévitation stable d'un corps diamagnétique ( ) de petite taille n'est possible que si se situe dans un intervalle de cotes [ que l'on déterminera en fonction de .
    d) Montrer que est une position d'équilibre stable possible. Quelle est la valeur de en ce point?
  2. Application numérique. Le corps a pour masse volumique et pour susceptibilité magnétique . Le rayon de la spire vaut ; le fil de la spire un diamètre de et une résistivité de .
    a) Calculer la valeur du champ magnétique au centre de la spire et l'intensité du courant nécessaire pour avoir un équilibre en .
    b) Calculer alors la puissance dissipée par effet Joule dans la spire. Commenter le résultat.

IV. Lévitation d'une sphère supraconductrice

Certains matériaux, refroidis à une température inférieure à une certaine température critique, deviennent supraconducteurs. En présence d'un champ magnétique, une caractéristique de cet état est l'expulsion totale du champ du sein de la matière, des courants surfaciques induits créant à l'intérieur du corps un champ magnétique exactement opposé au champ externe appliqué.
  1. Soit une sphère supraconductrice, de centre et de rayon , plongée dans un champ externe constant et uniforme à l'échelle de la sphère .
    a) En utilisant les propriétés de symétrie de la situation, montrer qu'un potentiel vecteur
    pour le champ créé par les courants surfaciques est, en coordonnées cylindriques, de la forme .
    b) Quel est le champ créé à l'intérieur de la sphère par les courants surfaciques? Calculer son flux à travers un cercle d'axe , de rayon et intérieur à la sphère. En déduire l'expression de à l'intérieur de la sphère.
    c) Le potentiel vecteur d'un dipôle magnétique placé en est donné en un point . Expliciter .
    d) Montrer que, en prenant pour le champ créé par les courants surfaciques à l'extérieur de la sphère un potentiel vecteur de cette forme, la condition de continuité du potentiel avec l'intérieur peut être satisfaite à la surface de la sphère si le moment magnétique a pour valeur , où est le volume de la sphère.
    e) En déduire que dans un champ magnétique non uniforme, une sphère supraconductrice, de suffisamment petites dimensions, est soumise à une force dérivant d'une énergie potentielle que l'on explicitera.
  1. Une petite sphère supraconductrice, de masse volumique , est placée sur l'axe vertical d'une spire circulaire identique à celle étudiée en III.1.
    a) En transposant les résultats de III.2, quel est le champ magnétique au centre de la spire nécessaire pour que la sphère soit en lévitation à la cote ?
    b) Quelle est alors l'intensité dans la spire et la puissance dissipée par effet Joule ?
Polytechnique Physique 2 PC 2004 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa