Bonjour je me demandais qu’elle devait etre le triangle ABC inscrit dans le cercle unité pour avoir une aire maximale. J’hesite entre deux configuration, celle ou AB est un diametre et C construit de façon a avoir un isocele ou celle où le triangle est equilateral.
Merci d’avance.
J’dirais qu’il faut faire une fonction à deux inconnues, f(x,y).
Avec x = Base ; y = Hauteur et f(x,y) = x*y/2
Et essayer de trouver un rapport entre les deux variables
Ce qui va suivre est une suposition, je n’ai pas chercher à le prouver…
du genre y< ou = e^(kx)
Par le dessin on trouve si x = 0 ; y = 1 cela confirme le modele,
Par le dessin on trouve si x = 1 ; y = 0,5 d’ou k = ln(0,5)
Et ensuite on calcule le maximum de f(x,e^(ln(0,5)*x)
Après à toi de trouver le véritable modèle…
Ps : pour ton triangle isocèle A = r²
pour ton triangle équilatérale la hauteur = 3r/2
ya donc un triangle rectangle délimité par la hauteur, un cotés et la moitié d’un autre cotés d’où h²+x²/4=x² <=> 3x²/4 = 9r/4 <=> x= Rac(3r)
Donc A = Rac(3r)*3r/4
Ici r = 1 donc
A1 =1
A2=Rac (3)*3/4 = 1,3
Donc l’équilateral est le plus grand. Merci.
Azuriel a écrit:
Donc l’équilateral est le plus grand. Merci.
Il est plus grand que ton autre figure mais peut être pas le plus grand de tous ; enfin à toi de le prouver…
Il est qd même pas trés commode ce paramétrage (base + hauteur… 
)
Ca marche bien en prenant les angles (0A,0B) et (0A,0C)
(pour l’air : determinant!)
(O centre du cercle, A,B,C : sommets)
(Soit dit en passant, ca permet par une affinité de determiner les triangles d’aire maximale inscrits dans une ellipse)
Soient deux points fixés sur un cercle, le triangle de plus grande aire est celui qui a la plus grande hauteur, donc un triangle isocèle. Ainsi tant que dans le triangle, on a deux côtés de longueur différente, on peut trouver un triangle de plus grande aire.
Le triangle doit donc être isocèle sur tous ses côtés, ie équilatéral, non ?
Pour une ellipse, ça me paraît plus chaud de faire ça « à la physicienne » ! 
Je suis impressionné !
Soient deux points fixés sur un cercle, le triangle de plus grande aire est celui qui a la plus grande hauteur, donc un triangle isocèle. Ainsi tant que dans le triangle, on a deux côtés de longueur différente, on peut trouver un triangle de plus grande aire
C’est comme ca qu’on a fait en sup’. Pas besoin de chercher midi a quatorze heure. 
Darunia a écrit:
determiner les triangles d’aire maximale inscrits dans une ellipse
oral X 2008 PC
J’aurais réussi un exo de l’X a l’oral ? Youhouuuu
Tiens, c’est exactement l’exercice que j’ai eu à traiter à l’épreuve de Mathématiques 2 de Centrale (celle avec Maple …), pas plus tard qu’aujourd’hui. Avant de traiter le cas des ellipses, l’énoncé invitait à considérer les triangles d’aire maximale inscrits dans un cercle.
[double post malencontreux, désolé]
Dans le même style d’énoncés (mais a priori des exo totalement différents quand même) : dans mon exo d’ENS il fallait déterminer l’ensemble de points d’une ellipse pour lesquels la normale à la courbe en ce point coupe l’enveloppe convexe de l’ellipse en deux aires dont la différence est maximale (en valeur absolue). J’avais trouvé ça assez sympa 
(Soit dit en passant, même type d’exo, même type de raisonnement : le quadrilatère d’aire maximale inscrit dans une ellipse).
Il faut paramétrer avec les angles au centre puis chercher les extrema
Darunia a écrit:
quadrilatère d’aire maximale inscrit dans une ellipse.
Sauf erreur il y en a une infinité (mais un seul rectangle …). Les points de contacts sont (a,b = 1/2 axes) :
( \pm a \cos \theta, \pm b \cos \theta) et (\pm a \cos \theta, \mp b \cos \theta).
Il suffit de se ramener à un cercle dans lequel c’est le carré qui l’emporte, sans surprise.
Rectangle effectivement (en plus tu corriges l’énoncé, c’est parfait ) mea culpa.
Darunia a écrit:
Rectangle effectivement (en plus tu corriges l’énoncé, c’est parfait
Pas grave, le exos sur les forums sont là (aussi) pour aiguiser notre esprit critique 
Ça doit faire bizarre de se retrouver avec un exo comme ça à l’oral non ?
A noter que le passage par le cercle permet de généraliser à un polygone quelconque la recherche de celui d’aire max.
Ça doit faire bizarre de se retrouver avec un exo comme ça à l’oral non ?
Le premier est tombé a Centrale et l’autre aux Mines il y a quelques années je crois, (et a l’X d’après ce même forum) mais a mon avis ca doit être assez rare quand même (enfin bon, je suis bien tombé sur des similitudes aux tpe remarque…)