Salut,
Est-ce que quelqu’un pourrait me passer un bon cours sur le calcul d’équivalent parce que j’ai vraiment du mal (en gros les différentes techniques pour calculer l’équivalent d’une fonction) ! J’ai cherché mais rien trouvé.
Merci !
Phylov a écrit:
Salut,
Est-ce que quelqu’un pourrait me passer un bon cours sur le calcul d’équivalent parce que j’ai vraiment du mal (en gros les différentes techniques pour calculer l’équivalent d’une fonction) ! J’ai cherché mais rien trouvé.
Merci !
Tu as fait les développement limités ?
Y’a pas franchement besoin d’un bon cours. Les équivalents ça se résume à
Une définition formelle qu’il faut connaître par coeur
Ne pas oublier que pour une fonction, on parle d’équivalent au voisinage d’un point, ou éventuellement de +/-infini, pour une suite c’est systématiquement au voisinage de l’infini.
Se dire que « si g ne s’annule pas trop au voisinage d’un point », dire que f(x) ~ g(x) <=> lim f(x)/g(x) = 1
connaître les équivalents classiques.
Liste non exhaustive :
sin(x) ~ x en 0
exp(x) - 1 ~ x en 0
cos(x) - 1 ~ -x²/2 en 0
arctan(x) ~ x en 0
ln(1 + x) ~ x en 0
tan(x) ~ x en 0
polynomes, trigo hyperbolique (cf exponentielle)…
(* à savoir démontrer *)
Comprendre que la notion d’équivalent revient à dire « la fonction va ressembler à [telle fonction] au voisinage de [tel point] ».
Graphiquement, cela se voit assez bien. Si tu traces x–>sin(x) ainsi que x → x , et que tu zoom au voisinage de zéro, tu auras beaucoup de mal à distinguer les deux courbes.
Même chose pour cos(x) - 1 et x²/2
etc.
A partir de là, tu t’en sors correctement.
Par exemple, on cherche un équivalent de sin(cos(x) - 1) en 0
Bon, le cos(x) - 1 va se comporter comme -x²/2 (cf équivalents usuels)
et « le sinus d’un truc qui est proche de zéro va ressembler à ce truc », donc sin(-x²/2) ~ -x²/2 en 0
Ce qui nous donne sin(cos(x) - 1) ~ -x²/2
Après bien sûr il y a des exo bien plus difficiles. Curieusement, surtout quand on travaille avec des suites.
Là les méthodes sont beaucoup plus variées.
Avoir fait les séries fournit beaucoup d’outils (Cesaro, qu’on peut démontrer en sup, méthode u(n+1)^a - u(n)^a…)
Je ne pense pas qu’on puisse vraiment faire un cours dessus, il s’agit de faire des exos, de repérer des méthodes qui reviennent souvent, de les noter et d’être capable de les ressortir le jour J ^^
Merci beaucoup (c’est ce genre de résumé que je cherchais 
).
Le truc qui me pose problème c’est le calcul d’équivalent de fonctions qui sont sous forme de somme. Il faut alors nécessairement passer par les petit o et là ca bloque. Par exemple:
Trouver l’équivalent de ln(1+x²)+ sin²(x) en + l’infini.
J’écris ln(1+x²)=2ln(x)+ln(1+\frac{1}{x^{2}}) =(en + l’infini) o(x)+1+\frac{1}{x^{2}}+o(\frac{1}{x^{2}})
sin²(x)=(en + l’infini) o(x²)=o(x)
Donc en sommant : sin²(x)+ln(1+x²)=(en + l’infini) 1+\frac{1}{x^{2}}+o(\frac{1}{x^{2}})+o(x)
Et là je sais plus quoi faire?
Phylov a écrit:
Merci beaucoup (c’est ce genre de résumé que je cherchais
Le truc qui me pose problème c’est le calcul d’équivalent de fonctions qui sont sous forme de somme. Il faut alors nécessairement passer par les petit o et là ca bloque. Par exemple:
Trouver l’équivalent de ln(1+x²)+ sin²(x) en + l’infini.
J’écris ln(1+x²)=2ln(x)+ln(1+\frac{1}{x^{2}}) =(en + l’infini) o(x)+1+\frac{1}{x^{2}}+o(\frac{1}{x^{2}})
sin²(x)=(en + l’infini) o(x²)=o(x)
Donc en sommant : sin²(x)+ln(1+x²)=(en + l’infini) 1+\frac{1}{x^{2}}+o(\frac{1}{x^{2}})+o(x)
Et là je sais plus quoi faire?
euh phylov en l’infini c’est quoi qui domine,x ou \frac{1}{x^{2}} ?
trouver UN équivalent (et pas l’équivalent),c’est trouver une fonction telle que le quotient des 2 tendent vers 1 en l’infini. En général,le mieux c’est d’avoir la plus simple.Prends 2ln(x) ça marche non ?
c’est x qui domine 1/x² en +l’infini (Dans le sens 1/x² est négligeable devant x mais ca ne sert à rien dans l’égalité puisqu’on n’obtient pas un truc de la forme f= g+o(g) )
Oui c’est vrai que 2ln(x) ca marche mais comment tomber dessus? (en tâtonnant? parce que parfois il est difficile de faire comme ça.)
ben globalement même si c’est interdit tu te dis que tu fais un peu comme sommer les équivalents:
le 1 va être petit devant le x², et le sin² est borné
donc en +oo ca va être comme ln(x²) cad 2ln(x)
??
J’ai pas compris votre méthode 
T’as ln(1+x²)+sin²(x)
Tu vois que quand x tend vers l’infini le terme à droite va être ridicule donc déjà tu peux le zapper, et tu vois que 1 est ridicule devant x² aussi donc le tout est équivalent à ln(x²) cad à 2ln(x).
Ah ok! Mais je me demande si on peut faire des approches à la main comme ça, fin est-ce que c’est rigoureux?
Pour des trucs simples comme ca je dirais que c’est même conseillé. Une fois l’équivalent « conjecturé » tu peux après vérifier en le « sortant de ton chapeau » et en faisant la limite du quotient pour trouver 1.
Ici ca se voit bien, en divisant par 2ln(x) le terme en sin² va tendre vers 0 et pour l’autre tu le sépares en 2 (comme t’as fait) et tu vois que le tout tend vers 1.
ok, merci à tous!