Bonjour,
Je suis en deuxième année de CPGE (MP), j’ai du mal à comprendre la démonstration du théorème de Stockes dans le cas carthésien.
Voici les grandes lignes de la démo:
L’espace est traversé par un champs vectoriel \vec A(r, t) « absolument » quelconque.
On se place dans le plan horizontal (xOy)
On définit dC_z la circulation le long du contour élementaire fermé entourant l’élément de surface dS_z=dxdy du champs vectoriel \vec A
Calculons dC_z:
dC_z=(\vec A \vec {dl})_1+(\vec A \vec {dl})_2+(\vec A \vec {dl})_3+(\vec A \vec {dl})_4 (ce que j’entend par 1, 2, 3, 4, à la ligne du dessous)
dC_z=A_x(x,y,z)dx+A_y(x+dx, y, z)dy-A_x(x, y+dy, z)dx-A_y(x, y+dy, z)dy
…
dC_z=\vec {rot} \vec A. \vec {dS_z}
Je ne comprends pas ce terme -A_x(x, y+dy, z)dx
J’aurais voulu mettre -A_x(x+dx, y+dy, z)dx pourtant, cela ne semble pas équivalent, le champ étant quelconque.
Mon raisonnement étant le suivant, on part du point 3 vers le point 4 (retour selon - \vec u_x) d’où le -dx et on part du point 3, qui a pour coordonnées (x+dx, y+dy, z) sur lequel on effectue un déplacement élémentaire selon - \vec u_x.
Pourtant mon professeur indique qu’il préfère raisonner dans l’autre sens (au lieu de calculer la circulation de 1->2->3->4 il effectue 1->2->3 puis l’opposé de 1->4->3). Je comprends que son raisonnement simplifie les calculs mais je ne comprends pas en quoi on calcul effectivement la bonne circulation.
Désolé pour ce long message, mais il faut donner beaucoup d’information pour que vous puissiez m’aider au mieux.
Merci par avance à celui ou celle qui prendra le temps de me répondre.
P.S. Je n’ai pas trouvé comment envoyer des images sur le forum, dois-je l’uploader moi même par un autre service et y insérer le lien ici ?