bonjour à tous
dans le cadre d’une justification de la notation exponentielle des complexes, il me faut démontrer le résultat : lim(1+x/n)^n=exp(x) pour tt x réel
je saurais y arriver à partir du très connu lim(1+1/n)^n=e, mais la démonstration de celui-ci me pose problème… quelqu’un pourrait-il m’aider? merci!
ps: désolé pour la présentation minable de mon post, mais je ne connais pas la syntaxe que vous utiliser pour les signes mathématiques
salmacis a écrit:
bonjour à tous
dans le cadre d’une justification de la notation exponentielle des complexes, il me faut démontrer le résultat : lim(1+x/n)^n=exp(x) pour tt x réel
je saurais y arriver à partir du très connu lim(1+1/n)^n=e, mais la démonstration de celui-ci me pose problème… quelqu’un pourrait-il m’aider? merci!
En prenant le logarithme de cette expression on peut faire apparaître une limite usuelle en ln(1+h)/h.
A quel endroit la démonstration de \lim_{x\rightarrow 0}{(1+\frac{1}{n})^n}=e te pose t-elle problème ?
pas à un endroit précis, vu que, ne sachant pas par quel bout la prendre, je n’avait meme pas d’ébauche de démonstration! 
mais le conseil de Mû (merci) va certainement m’aider..àsuivre!
Je me permets de remonter le topic pour vous poser une question
Comment prouve ton cette formule pour x complexe? Merci 
matttdu75 a écrit:
Comment prouve ton cette formule pour x complexe? Merci
Par exemple en commençant par remarquer que les coefficients du développement en série entière de exp(z)-(1+z/n)^n sont tous positifs, puis en majorant le module de cette différence …
c’est bon merc! 
Ici l’équivalent usuel me paraît le plus simple (je fais référence à la 1ère question), en écrivant simplement (1+\frac{x}{n})^n=e^{nln(1+\frac{x}{n}) et comme \frac{x}{n}\rightarrow0 quand n\rightarrow\infty, on a l’équivalent ln(1+\frac{x}{n})\sim\frac{x}{n}.
En espérant avoir été utile.
Grisha a écrit:
Ici l’équivalent usuel me paraît le plus simple (je fais référence à la 1ère question), en écrivant simplement (1+\frac{x}{n})^n=e^{nln(1+\frac{x}{n}) et comme \frac{x}{n}\rightarrow0 quand n\rightarrow\infty, on a l’équivalent ln(1+\frac{x}{n})\sim\frac{x}{n}.
En espérant avoir été utile.
C’est extrêmement standard, ce passage.
Le calcul de limite de Machin^Truc se fait en passant à l’écriture exponentielle.
A connaitre parfaitement !
