Toute forme biliéaire symétrique est diagonalisable:
Récurrence;
distinguer le cas ou elle est non nulle et prouver l’existence de vecteur x tel que l image de (x;x) par l’application soit non nulle. Appliquer Hyp récurrence à l’orthogonal
4 lignes
L’ensemble formé par la limite d’une suite convergente et sa limite a forme un compact:
Utiliser Borel lebesgue en considérant l’ouvert O contenant la limite a .Dire que à partir d’un certain rang les termes sont dans O(il ne reste alors qu’un nombre fini de termes que l’on peut placer dans des ouverts sans importance…)
Ouais bon là ça commence à ressembler un peu plus à une esquisse de démonstration qu’à une vraie preuve… Si on rédigeait dans le même style que toi, pour le coup on aurait enfin une « preuve » du grand théorème de Fermat en quelques lignes tant recherchée par Dattier:
Se ramener d’abord aux cas d’exposants n premiers impairs. À une solution (x, y, z) non triviale avec les entiers relatifs x, y, z premiers entre eux, associer une courbe elliptique particulière. Démontrer que la courbe de Frey-Hellegouarch ne peut pas être paramétrée par des fonctions modulaires. Dire que toute courbe elliptique est paramétrée par des fonctions modulaires.
Voilà qui devrait plaire à Professeur Essef : la preuve rentre dans une marge. Puis la dernière partie c’est trivial, suffit de le montrer courbe par courbe, tranquille pépouze.
J’aime voir les maths (même à mon modeste niveau ; j’ai quitté le monde académique) comme un travail d’équipe et d’imagination. Comme tout travail intellectuel, le passage à la moulinette équipe de nos efforts individuels bonifie énormément le résultat final.
Mais essayez. Après je pense que darklol est beaucoup plus fort que moi, donc bon je crois que ça reposera surtout sur lui 
Pour le tcd, sans hypothèse de continuité par morceaux de la limite, il me semble nécessaire de passer par la définition formelle de l’intégrabilité de Riemann. Avec :
</s>(f_n)<e> tend vers </s>f<e> continue par morceaux (tout étant majoré par M). Il suffit de traiter le cas </s>(g_n)<e> suite de fonctions continues convergeant simplement vers 0 (on peut avoir </s>||g_n-f_n + f||_1 < 1/n<e>).Si </s> \int g_n(t) dt \not\rightarrow 0<e> on les suppose minorées par c>0 quitte à extraire. </s>\int \max(g_n(t),\dots, g_{n+k}(t))dt<e> est croissante en k encadrée entre c et M, donc converge vers </s>l_n\geq c<e>. L’un des termes </s>\int h_n(t)dt<e> est minoré par </s>l_n - c/2^{n+2}<e>, si m<n, </s>\int (h_n -h_m)^+(t)dt \leq l_m - (l_m - c/2^{m+2}) = c/2^{m+2}<e>. Donc </s>\int j_n(t)dt \geq<e> </s> \int h_n(t)dt - \sum_{m=0}^{n-1} \int (h_n -h_m)^+(t)dt \geq<e> </s> c/2 <e>, où </s>j_n = \min(h_0,\dots, h_n)<e> converge simplement en décroissant vers 0 : </s>(j_n^{-1}([c/2;+\infty[))<e> contredit les compacts emboités.
Voilà ! Désolé pour le style pour le moins télégraphique ^^'
Qui pour le théorème d’existence d’une suite infinie de Bernoullis indépendantes ?
ouais alors vu la concision extrême, pour certaines preuves (tousse convergence tousse dominée tousse) ça tiendra plus du pense-bête schématique dont il faudra aussi apprendre le déchiffrage que d’une preuve utilisable clef en main, non ?
Solution en une ligne. Programme de Mathématiques de MP: page 22
Dattier : Les fonctions g_n sont continues donc j_n aussi, d’où la compacité (de plus ton exemple n’est pas continu par morceaux sauf erreur de ma part, enfin il y a domination en valeur absolue par la constante M donc ce serait aussi </s>j_n^{-1}([c/2;M]) <e> qui est peut être plus clairement fermé sous hypothèse de continuité)
Siro : En effet, je suppose qu’il faut en conclure qu’une preuve satisfaisante du TCD ne tient pas en 5 lignes (à ma connaissance en tout cas)
J’avoue que la preuve est élégante :
!(<LINK_TEXT text=« https://image.noelshack.com/fichiers/20 … apture.png »>https://image.noelshack.com/fichiers/2018/17/1/1524489332-capture.png</LINK_TEXT>)
Le lien est corrigé.
Haha ça revient au même
Quel est l’intérêt mathématique d’une telle pirouette ? On peut toujours en écrire une en trois lignes, la difficulté des présupposés techniques et des lemmes admis étant subjective. Et l’encart que tu surlignes en rouge ne sert à rien, le théorème de Dini étant par exemple trivial pour ceux l’ayant vu en cours et utilisé plusieurs fois alors que ne pas détailler son utilisation pourrait légitimement passer pour de l’arnaque à celui qui a les yeux rivés sur le programme. D’autre part, quel est l’énoncé précis du théorème de convergence dominée que tu souhaites démontrer (continuité par morceaux / hypothèse sur la limite ou non, etc.) et surtout quel est le cadre (Riemann-Intégrabilité formelle, intégrale des fonctions continues par morceaux…) ?
On a ici une succession de questions permettant de démontrer ce théorème avec les outils de prépa (problème 2) : http://alain.troesch.free.fr/2015/Fichiers/dm17.pdf
C’est peut-être pas recommandable d’utiliser des preuves aussi elliptiques le jour des concours…
Personnellement j’écrivais certaines preuves de manière concise (mais moins que ça parce que j’ai pas un aussi bon niveau) et je me suis fait défoncer toute l’année par mon profs de maths.. A partir de là, je recommande pas forcément de prendre le risque.
Mes camarades qui rédigeaient plus complètement avaient de bien meilleures notes que moi, en ayant su démontrer autant de choses que moi dans les sujets.
On faisait tous les 2/3 du sujet en gros, mais eux avaient 14 à 17 quand moi j’avais seulement 11-12
A bon entendeur.
Et bien le correcteur se dira « service minimal, note minimale », et tu finiras sans la totalité des points…
Ben tu devrais écouter l’avis de Jay.
Parole d’ex khôlleur.
L’étalage de culture est une chose. Montrer qu’on a du recul sur le programme et ce qu’on fait est très bien. Utiliser une litanie d’arguments bazookas pour prétendre qu’on a la preuve d’un truc ne prouve aucun recul. Juste une capacité à régurgiter du par cœur. À ton avis, que va faire un examinateur dans un tel cas ?
A titre personnel, je crois qu’il a toujours été toléré de répondre avec concision dans mes copies, mais uniquement une fois qu’on a démontré dans la première moitié du sujet que non seulement on avait tous les éléments en tête mais qu’en plus on faisait zéro faute. Si après quatre pages parfaites (pour l’examinateur) le candidat commence à jouer le style, ok. Mais il faut qu’il ait démontré avant qu’il avait les épaules pour.
A l’oral c’est autre chose, le colleur est là face à nous et il peut poser des questions.
Si oralement on sait compléter une démonstration qui était écrite lapidairement, on peut même se permettre de blaguer en disant qu’on avait la flemme d’écrire 
D’ailleurs perso, aux écrits je suis arrivé avec l’intention de faire du style et de la concision. Puis une fois devant ma feuille, entre me triturer les méninges 40 secondes pour trouver la bonne tournure d’humeur élégante ou écrire l’énoncé complet en 20 secondes, le choix a rapidement porté sur la seconde solution. Presque à chaque coup.
Par contre en DM c’est chouette de développer son style mathématique. Mais parce qu’on a le temps, et que ça nous plaît. Une fois en situation, les corrections d’humeur sont nettement moins enviables que les méthodes chiantes mais efficaces.