Quelqu’un avait déjà proposé cette preuve en exercice pour les lycéens ici, j’avais beaucoup aimé 
1. De toute suite réelle, on peut extraire une suite monotone : considérer le cas ou le nombre d’indices pics est fini ou pas.
2. Une suite monotone bornée est convergente.
Deux lignes.
Fin.
Cordialement.
Ah bah désolé, c’est pas assez clair pour moi. Je vois pas là où tu distingues fini/infini.
Pour moi, indice pic de la suite c’est un indice tel que le terme correspondant majore tous les termes suivants. Une date de record où on aurait inversé la ligne du temps.
T’es sûr qu’on propose « exactement » la même chose ? Moi pas.
:?
Je ne trouve pas ça assez clair. C’est mon humble opinion.
Les deux mon capitaine.
Vu que tu es dans la concision, je vais dire « tout ».
Par contre pense à changer ton énoncé du théorème de convergence dominée avant d’essayer de le démontrer en 3 lignes.
(Mais sinon ça va je trouve cette preuve claire)
Ça veut dire quoi s puissance n de zéro ?
Ligne 2
Pourquoi une sous suite de x serait minorée par b, alors que b>a et x(k) appartient à [a,b] ?
Tu as des explications à fournir
C’est la composée n-ième de s appliquée à 0, je suppose. Et la suite est minorée par a, ça doit être une faute de frappe…
Ah oui..
Pour le reste, je pense que si on rédigeait aussi synthétiquement en prépa on se ferait démonter.
Il existe une sous-suite monotone d’une suite de nombre réels. Les limites inf ou sup de la suite…
Et donc dans le cas où la suite est bornée, BW découle du théorème de convergence monotone (sur les suites).
Mais je pense, c’est la pire preuve possible de BW… Adhoc à </s><e>\mathbb{R} de surcroît!
Pourquoi ne pas fusionner les lignes 2,3 et 4 en une seule ?
Ça c’est exactement la preuve qu’on trouve dans un cours de prépa, rien de nouveau et parfaitement trivial. Détaille plutôt l’unique point important: équivalence des normes en dimension finie en 4 lignes.
Je pense que la meilleure preuve en $1$ ligne est j’applique Tykhonov… Bonjour le troll ^^
Pas mieux que toi pour le 1/, mais le 2/ en une ligne:
</s>\{u \in \mathbb{R}^k; ||u||_\infty = 1\} \ni x \longmapsto ||x||<e> est lipschitzienne à cause de 1/, sur un compact par B-W pour </s>||\cdot||_\infty<e>, donc atteint un minimum.
Fin.
Deux lignes, à cause de la taille de mon écran. 
J’ai enlevé un mot, ça devrait prendre plus qu’une ligne même sur ton écran (et si c’est un smartphone met le en mode portrait lol).
Haha, le style, la plus belle chose en maths. <3
(Adjugé ! Et non, c’était un écran large.)
Wow le TCD en 5 lignes je suis preneur. (Heu la version sans théorie de la mesure, on est d’accord ?)