Bonjour,
Je vais passer fin août une épreuve écrite de maths sur le programme de PC que je vais regarder attentivement. Si j’en avais le temps, je le comparerais minutieusement à ceux de MP et PSI pour voir une fois pour toutes les différences essentielles et les différences plus subtiles, ceci dans le but de pouvoir chercher des problèmes de tout niveau (MP, PSI et PC) sans avoir à chaque fois à me demander si telle chose est ou non dans mon programme (le HP ne m’effraie pas en tant que tel, mais je pense qu’il vaut mieux connaître les tenants et aboutissants des résultats utilisés).
Si les matheux qui connaissent bien les programmes et leurs différences pouvaient m’aider dans cette tâche au moins pour les grosses différence (pas toujours aisé à faire ce boulot je trouve), je leur en saurais infinimennnnnt gré 
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[EDIT 17h45 J’ai rajouté le programme de PSI dans ma question]
En PC, je sais que:
-Le mot « uniforme » est hors programme: à remplacer, lorsque c’est possible par « normal(e) ».
-Le théorème de Cayley-Hamilton est hors-programme.
-Les suites de Cauchy et la complétude est hors-programme.
-La compacité se résume à « fermé borné » (on reste en dimension finie).
J’espère ne pas me tromper…
En effet, quand on a besoin de la convergence uniforme (théorèmes d’approximation, c’est tout je crois), on dit « convergence au sens de la norme de la convergence uniforme » 
On ne parle pas non plus de l’adjoint d’un endomorphisme (dommage ça avait l’air sympa).
Après difficile pour un élève de PC de comparer son programme avec le programme de MP qu’il n’a pas fait 
MooMooB a écrit:
En PC, je sais que:
-Le mot « uniforme » est hors programme: à remplacer, lorsque c’est possible par « normal(e) ».
-Le théorème de Cayley-Hamilton est hors-programme.
-Les suites de Cauchy et la complétude est hors-programme.
-La compacité se résume à « fermé borné » (on reste en dimension finie).
J’espère ne pas me tromper…
C’est ça, en gros. Une conséquence de l’absence de la notion de suite de Cauchy, c’est que l’on admet les propriétés du type : convergence absolue => convergence.
Merci pour ces indications.
Pas de convergence uniforme 
…
Concernant l’arithmétique, j’ai bien lu qu’on n’en parle pas du tout
en PC, c’est bien exact ? (Ni non plus des groupes, anneaux, corps, etc. et toute autre structure de l’algèbre générale ?)
Pas d’arithmétique (enfin un truc sur les nombres premiers qui tient en 2 lignes si je me souviens bien).
Par contre on voit les structures algébriques en sup.
Snark a écrit:
Une conséquence de l’absence de la notion de suite de Cauchy, c’est que l’on admet les propriétés du type : convergence absolue => convergence.
Pour les séries numériques (et les intégrales de fonctions réelles ou complexes), on le démontre sans critère de Cauchy!
Il n’y a pas une différence sur les applications p-linéaires aussi ? Le prof de maths nous a dit qu’en MP il faudrait avoir compris, en PSI pas forcément alors je me dis qu’en PC …
Edit : Désolée, je pensais que les déterminants faisaient parties des choses qu’on ne voyait pas en PC mais en MP, si …
sf51 a écrit:
Il n’y a pas une différence sur les applications p-linéaires aussi ? Le prof de maths nous a dit qu’en MP il faudrait avoir compris, en PSI pas forcément alors je me dis qu’en PC …
Je ne sais pas si cette intervention aidera vraiment Bourricot… à part à se faire une idée du regard porté par sf51 sur les différentes filières…
sf51 a écrit:
Il n’y a pas une différence sur les applications p-linéaires aussi ? Le prof de maths nous a dit qu’en MP il faudrait avoir compris, en PSI pas forcément alors je me dis qu’en PC …
Edit : Désolée, je pensais que les déterminants faisaient parties des choses qu’on ne voyait pas en PC mais en MP, si …
En fait en PC le groupe symétrique est hors-programme du coup on admet l’existence du déterminant et certaines de ses propriétés.
sf51 a écrit:
Il n’y a pas une différence sur les applications p-linéaires aussi ? Le prof de maths nous a dit qu’en MP il faudrait avoir compris, en PSI pas forcément alors je me dis qu’en PC …
Edit : Désolée, je pensais que les déterminants faisaient parties des choses qu’on ne voyait pas en PC mais en MP, si …
Les propriétés du déterminant sont au programme PC, et utilisées dans le programme d’algèbre linéaire de la classe. La démonstration de l’existence du déterminant est admise par le programme, mais certains aiment bien comprendre…
D’autre part, il y a des parties du programme PC qui ne sont pas au programme PSI: la caractérisation des endomorphismes trigonalisables par exemple, les systèmes différentiels autonomes, et il y a (un peu) plus de géométrie dans le programme PC que dans les programmes MP et PSI.
PC versus MP :
En moins :
en algèbre : groupe symétrique, arithmétique des entiers et des polynômes (juste la division euclidienne et la décomposition en produit d’irréductibles, dans les deux situations), décomposition en éléments simples
en algèbre linéaire : un zest de dualité (PSI est intermédiaire entre MP et PC sur ce sujet), lemme des noyaux, Cayley-Hamilton (au programme en PSI), polynôme minimal (absent en PSI, mais en PSI il y a la structure d’idéal de l’ensemble des polynômes annulateurs et la description des idéaux de K)
en algèbre bilinéaire : quelques rudiments sur les formes quadratiques, endo sym positifs, définis positifs
en analyse :
surtout de la topologie : vraie définition des compacts (au programme PSI), suites de Cauchy (au programme PSI), connexité par arcs, continuité uniforme
convergence uniforme malgré la présence de la norme sup (il ne devrait donc pas y avoir d’énoncé portant sur la cv d’une suite de fonctions au sens de la norme sup ; Weierstrass= approximation à epsilon près, pour tout epsilon) (la cvu est au programme PSI)
norme subordonnée pour une application linéaire continue
intégration sur un produit d’intervalles
Fubini discret
définition d’une application différentiable en un point (au programme PSI), théorème de Poincaré sur les formes différentielles exactes (au programme PSI)
En plus :
intégrales impropres sur un intervalle
intégrales triples, aire d’une surface (pas au programme PSI)
surfaces cylindriques, coniques, de révolution ; ex de contours apparents (pas au programme PSI)
Les systèmes différentiels autonomes sont au programme PC, mais pas PSI.
Sylvie Bonnet a écrit:
[quote=« Snark »]
Une conséquence de l’absence de la notion de suite de Cauchy, c’est que l’on admet les propriétés du type : convergence absolue => convergence.
Pour les séries numériques (et les intégrales de fonctions réelles ou complexes), on le démontre sans critère de Cauchy!
[/quote]
Comment le faire élégamment ?
Snark a écrit:
[quote=« Sylvie Bonnet »]
[quote=« Snark »]
Une conséquence de l’absence de la notion de suite de Cauchy, c’est que l’on admet les propriétés du type : convergence absolue => convergence.
Pour les séries numériques (et les intégrales de fonctions réelles ou complexes), on le démontre sans critère de Cauchy!
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Comment le faire élégamment ?
[/quote]
Pour une série de réels de terme général un qui converge absolument :
La série de terme général |un| - un est convergente car :
0<= |un| - un <= 2|un|
La série de terme général un = |un| - (|un| - un ) est donc convergente.
Après si c’est des complexes on se ramène à ce cas là en majorant la valeur absolue des aprties réelles et imaginaires.
Snark a écrit:
[quote=« Sylvie Bonnet »]
[quote=« Snark »]
Une conséquence de l’absence de la notion de suite de Cauchy, c’est que l’on admet les propriétés du type : convergence absolue => convergence.
Pour les séries numériques (et les intégrales de fonctions réelles ou complexes), on le démontre sans critère de Cauchy!
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Comment le faire élégamment ?
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On commence par le faire pour les séries réelles positives: la convergence de la série est équivalente à ce que l’ensemble des sommes partielles soit majoré (c’est en fait le théorème de la limite monotone). On en déduit qu’une série positive dominée par une série positive convergente est convergente.
Si \sum{a_n} est une série réelle absolument convergente, on pose b_n=a_n+|a_n|: \sum{b_n} est alors une série positive dominée par par \sum{|a_n|}, donc converge. La série \sum{(b_n-|a_n|)} converge donc comme différence de deux séries convergentes et ce n’est autre que \sum{a_n}.
Pour les séries complexes, on revient aux parties réelles et imaginaires: si \sum{|z_n|} converge alors \sum{|Re(z_n)|} et \sum{|Im(z_n)|} aussi (car |Re(z_n)| \leq |z_n| et |Im(z_n)| \leq |z_n|) donc \sum{Re(z_n)} et \sum{Im(z_n)} aussi (résultat précédent) donc \sum{z_n} aussi.
Calamity a écrit:
[quote=« sf51 »]
Il n’y a pas une différence sur les applications p-linéaires aussi ? Le prof de maths nous a dit qu’en MP il faudrait avoir compris, en PSI pas forcément alors je me dis qu’en PC …
Edit : Désolée, je pensais que les déterminants faisaient parties des choses qu’on ne voyait pas en PC mais en MP, si …
En fait en PC le groupe symétrique est hors-programme du coup on admet l’existence du déterminant et certaines de ses propriétés.
[/quote]
Disons qu’il manque la formule de calcul du déterminant par sommation sur les permutations : il reste quand même les formules par sommation via ligne et/ou colonne et les propriétés de multilinéarité et alternance!
De mémoire la formule liant matrice, comatrice et déterminant n’est pas au programme (bien sûr on la voit en exercice 
, donc inutile de faire l’impasse dessus).
Snark a écrit:
[quote=« Sylvie Bonnet »]
[quote=« Snark »]
Une conséquence de l’absence de la notion de suite de Cauchy, c’est que l’on admet les propriétés du type : convergence absolue => convergence.
Pour les séries numériques (et les intégrales de fonctions réelles ou complexes), on le démontre sans critère de Cauchy!
[/quote]
Comment le faire élégamment ?
[/quote]
On le fait pour les séries de nombres réels puis on passe aux parties réelle et imaginaire.
Pour les séries de nombres réels, le plus rapide est de remarquer que 0 \leq |u_n|-u_n\leq |u_n|, donc que la convergence absolue de \sum u_n entraîne la convergence de \sum (|u_n| -u_n), donc celle de \sum u_n.
Mais il est plus intéressant de considérer les parties positive et négative de u_n : u_n^+=u_n si u_n est positif, 0 sinon, u_n^-=-u_n si u_n est négatif, 0 sinon.
Alors |u_n|=u_n^++u_n^-\geq u_n^+, u_n^-\geq 0 et u_n=u_n^+-u_n^-.
\sum u_n cva \Leftrightarrow \sum u_n^+ et \sum u_n^- cv $\Rightarrow$$\sum u_n$ cv
Ensuite, si on considère une série cv mais non cva, étant donné un nombre réel s, on peut réordonner les termes de la série \sum u_n de façon à obtenir une série cv de somme s.
Philippe PATTE a écrit:
0 \leq |u_n|-u_n\leq |u_n|
C’est :
0 \leq |u_n|-u_n\leq 2|u_n|
mais sinon ça marche. On utilise donc l’ordre sur les réels, ce qui permet de généraliser en dimension finie.
Snark a écrit:
De mémoire la formule liant matrice, comatrice et déterminant n’est pas au programme (bien sûr on la voit en exercice , donc inutile de faire l’impasse dessus).
Elle est au programme PC. C’est simplement l’exploitation du développement selon une ligne ou une colonne.
Pour compléter le tableau de PhP :
Un endomorphisme est trigonalisable ssi son polynome caractéristique est scindé: au programme PC, mais pas au programme PSI.
Merci pour toutes ces contributions qui vont me faire gagner un temps précieux !
Je me dis que j’aurais mieux fait de rester à Baden-Baden aujourd’hui plutôt que de revenir et d’allumer mon ordinateur : quelle pagaille dans ces programmes 
!
Je vais me faire une synthèse de toutes les remarques faites, ça me permettra de savoir comment je peux m’arranger lorsque je cherche un problème. De toute façon, le but étant de savoir si l’on en sait assez pour « sauter une classe », je crois que je ne vais pas trop me gêner pour étaler ma confiture mathématique, éventuellement en précisant en quelques mots comment on démontre tel théorème qui n’est pas au programme exigé pour l’épreuve. J’en assumerai les conséquences 
…
Par contre, j’ai remarqué des trucs assez étranges : différence pour la géométrie en PC par rapport à MP, ou certaines notions en PSI mais pas en PC… Je ne sais pas s’il y a une logique à toutes ces subtilités, mais bon je m’en contenterai pour l’instant 
!