Bonjour,
J’ai une question vraiment bête mais ayant un gros doute…
La dimension des matrices carrées à n lignes et n colonnes est bien n, non ?
Cependant, la dimension des matrices à n lignes et p colonnes est np donc pourquoi, pour la question précédente, la dimension n’est-elle pas n² ?
la dimension des matrices carré d’ordre n est n^2
Considère la famille des matrices Eij avec un 1 pour le coeff de la i-ème ligne et la j-ème colonne, et des 0 partout ailleurs. Tu es bien d’accord que cette famille forme une base de Mn(K) ? Quel est son cardinal ?
Oui, d’accord. Merci.
Mais, dans ce cas, pourquoi dit-on : comme la matrice M est de taille 3, avec un espace propre de dimension 1 et un autre de dimension 2, elle est diagonalisable ?
D’après ce que l’on vient de dire, la dimension de l’ensemble des matrices de taille 3 est 3²=9 : il n’y a donc pas égalité des dimensions…
Mon problème se situe à ce point précis, mais je ne vois pas ce qui cloche dans ma tête…
Ta matrice de taille 3*3 cache un endomorphisme : c’est la matrice d’un endomorphisme u dans une base d’un espace vectoriel, qui est donc de dimension 3. (R^3 par exemple).
L’espace dans lequel tu travailles est donc un espace de dimension 3 (ce n’est pas celui des matrices 3*3).
Merci, j’étais en train de me dire que mon problème venait de l’espace de travail.
Les espaces propres sont donc supplémentaires dans un espace de dimension 3 ?
J’ai l’impression que ce qui m’embêtait me paraît enfin clair. Merci pour votre aide.
Les sous espaces propres sont supplémentaires dans E ssi l’endomorphisme u de E (ou la matrice de u dans une base de E, c’est pareil) est diagonalisable.
klux a écrit:
Bonjour,
J’ai une question vraiment bête mais ayant un gros doute…
La dimension des matrices carrées à n lignes et n colonnes est bien n, non ?
Cependant, la dimension des matrices à n lignes et p colonnes est np donc pourquoi, pour la question précédente, la dimension n’est-elle pas n² ?
T’es censé retenir que L(E,F) = ensemble des morphismes d’ev de E dans F est de dimension dim E * dim F.
Pour une matrice, ça se voit : Pour décrire à quelqu’un une matrice donnée, il faut lui donner au moins n^2 informations : i.e. tous les coefficients de ta matrice, trouver une matrice est donc un problème à n^2 degrés de liberté. Ce qui se traduit mathématiquement en le fait que les Eij = matrice avec 1 en position (i,j), 0 ailleurs forment une base de Mn(R).
Une matrice, quand on fait des calculs, ça s’applique à un vecteur.
La dimension d’un espace propre c’est, la dimension de l’ensemble des X vecteur colonne, tel que (M-lambda*Id)X=0 : C’est le vecteur colonne valant 0. La dimension d’un tel espace est donc la dimension d’un sous-ev de Mn,1(R) (qui elle vaut bien n)
klux a écrit:
Merci, j’étais en train de me dire que mon problème venait de l’espace de travail.
Les espaces propres sont donc supplémentaires dans un espace de dimension 3 ?
J’ai l’impression que ce qui m’embêtait me paraît enfin clair. Merci pour votre aide.
Et les espaces propres ne sont en général pas supplémentaires, (ils le sont ssi ta matrice est diagonalisable), mais sont toujours en somme directe.
(Différence entre somme directe et supplémentaire, c’est que la somme directe ne vaut pas toujours l’espace englobant).
