Valentin88 a écrit:
Et puis la topologie peut s’étudier pour elle même sans servir de base à l’analyse!
Je te plussoie : si par analyse, on entend evn, séries, calcul diff, etc… alors oui la topologie est une branche à part : la notion de continuité repose alors sur celle de filtre … 
, quand on a juste à notre disposition des espaces topologiques
Valentin88 a écrit:
Heu je distingue perso algèbre et théorie des nombres, par exemple le théorème des nombres premiers se rapproche beaucoup de l’analyse, à travers les fonctions complexes et tout.
D’ailleurs il n’y a pas une mais des théorie des nombres, y’a la théorie analytique, algèbrique, géométrique, élémentaire (l’arithmétique classique) et il parait même que la théorie combinatoire des nombres existe
.
Et puis la topologie peut s’étudier pour elle même sans servir de base à l’analyse!
Certes les frontières sont floues, mais elles existent.
Enfin bref c’était juste un trait d’humour au début car je voyais qu’il n’y avait que deux branches citées
Le problème soulevé par toutes ces distinctions réside, comme bien souvent, dans le fait que personne ne parle de la même chose dans le sens où aucune définition n’est donnée explicitement des objets ou notions auxquelles on s’intéresse. C’est défini par quoi, l’algèbre ? l’analyse ? etc.
Il y a plusieurs points d’entrée possibles : fini/infini, discret/continu, convergence/pas convergence, et autant de points de vue selon les personnes (et leurs centres d’intérêt) qui discutent…
Je crois que c’est plus le but et les outils utilisés qui permettent de dire si telle partie est de l’algèbre ou de l’analyse : on peut faire de la topologie « pour l’analyse », ou bien de la topologie algébrique (entre autres, il y a aussi la topologie différentielle par exemple…). Les buts et les outils sont alors radicalement différents. Mais il est clair (pour moi) que ces distinctions deviennent artificielles, et sont plus dues au fait que les gens ont baigné dans ce modèle algèbre/analyse/géométrie/… trop longtemps étant jeunes, pour qu’ils ne les influencent pas encore un peu (inconsciemment ?) une fois arrivés à l’âge de raison… mathématique 
.
Flyrik a écrit:
Je te plussoie : si par analyse, on entend evn, séries, calcul diff, etc… alors oui la topologie est une branche à part : la notion de continuité repose alors sur celle de filtre …
Je ne comprends pas trop l’articulation de ton propos… Pourquoi la topologie serait-elle une branche « à part » ? La topologie est définie par certains comme l’étude des structures de convergence (des filtres par exemple, pour être très général…), et l’analyse c’est quoi, sinon une recherche toujours insatisfaite de convergence ?..
Voilà « une » façon de voir, comme il doit y en avoir bien d’autres. Plus généralement, pour moi l’analyse apparaît « dès qu’on a du epsilon dans l’air ». (Si c’est pas une définition, ça ! 
) Donc en gros dès qu’on cherche à voir si quelque chose converge…
NB : Au passage, les filtres introduits par Cartan au début du siècle ont pour but de « structuraliser » (hum) l’analyse. Or, les structures, c’est la base de la formalisation de l’algèbre. Comme quoi, analyse, algèbre, 
…
bourricot a écrit:
[quote=« Flyrik »]
Je te plussoie : si par analyse, on entend evn, séries, calcul diff, etc… alors oui la topologie est une branche à part : la notion de continuité repose alors sur celle de filtre …
Je ne comprends pas trop l’articulation de ton propos… Pourquoi la topologie serait-elle une branche « à part » ? La topologie est définie par certains comme l’étude des structures de convergence (des filtres par exemple, pour être très général…), et l’analyse c’est quoi, sinon une recherche toujours insatisfaite de convergence ?..
Voilà « une » façon de voir, comme il doit y en avoir bien d’autres. Plus généralement, pour moi l’analyse apparaît « dès qu’on a du epsilon dans l’air ». (Si c’est pas une définition, ça !
NB : Au passage, les filtres introduits par Cartan au début du siècle ont pour but de « structuraliser » (hum) l’analyse. Or, les structures, c’est la base de la formalisation de l’algèbre. Comme quoi, analyse, algèbre, …
[/quote]
oui je suis d’accord, d’ailleurs en école d’ingénieur, j’ai vu les filtres dans un cours portant l’intitulé Analyse 
, donc je sais bien que la topologie relève de l’analyse. Là où je veux en venir, c’est que, et remarquez bien ce qui est marqué dans mon post précédent
**si par analyse, on entend evn, séries, calcul diff, etc… **
dans tous ces domaines cités tels qu’on nous les a montré en prépa, la notion de convergence, qui apparaît bien sûr dans un espace topologique, était reliée à une norme de façon plus restrictive.
Qd on fait de la topologie générale, on a un ensemble E et des ouverts sur cet ensemble. Point barre,
alors que dans les evn, déjà premièrement E est forcément un espace vectoriel (a priori c’est déjà contraignant), et en plus, on rajoute une application || || sur E qui va être le fondement de toutes nos définitions.
En topologie générale, on a une rédaction bcp plus « pure » (dixit mon prof à l’enac ), faisant intervenir de simples ensembles dans la définition de convergence.
Voilà ce que je voulais dire. Dites moi si je suis trop vague ou pas 
Valentin88 a écrit:
Et puis la topologie peut s’étudier pour elle même sans servir de base à l’analyse!
Un peu comme en géométrie algébrique? 
PS: cherchez « topologie de Zariski » sur le net
Snark a écrit:
[quote=« Valentin88 »]
Et puis la topologie peut s’étudier pour elle même sans servir de base à l’analyse!
Un peu comme en géométrie algébrique?
[/quote]
Il y a bien des gens qui trouvent du plaisir à courir des marathons, alors pourquoi pas en faisant de la géométrie algébrique…
Flyrik a écrit:
oui je suis d’accord, d’ailleurs en école d’ingénieur, j’ai vu les filtres dans un cours portant l’intitulé Analyse
**si par analyse, on entend evn, séries, calcul diff, etc… **
dans tous ces domaines cités tels qu’on nous les a montré en prépa, la notion de convergence, qui apparaît bien sûr dans un espace topologique, était reliée à une norme de façon plus restrictive.
Qd on fait de la topologie générale, on a un ensemble E et des ouverts sur cet ensemble. Point barre,
alors que dans les evn, déjà premièrement E est forcément un espace vectoriel (a priori c’est déjà contraignant), et en plus, on rajoute une application || || sur E qui va être le fondement de toutes nos définitions.
En topologie générale, on a une rédaction bcp plus « pure » (dixit mon prof à l’enac
Voilà ce que je voulais dire. Dites moi si je suis trop vague ou pas
Je ne voudrais pas paraître enquiquineur, mais j’ai encore un peu de mal à voir où tu veux en venir. On peut effectivement faire de la topologie dans les evn sans parler de filtres, mais on peut aussi en faire dans les espaces topologiques sans jamais les évoquer non plus ! Il n’y a aucune obligation, sauf pour les gens qui font de la recherche dans certains domaines. De même on peut étudier les espaces complets sans évoquer la notion de structure uniforme (introduite par Bourbaki si je ne m’abuse. Encore !..). Mais qu’on en parle ou pas, dans les et comme dans les evn, les filtre existent bel et bien (depuis qu’on leur a donné naissance).
La topologie dans les evn reste de la topologie : toutes les propriétés vraies dans les et le restent dans les evn. C’est juste qu’on en rajoute : imposer la structure algébrique est « contraignant » (enfin, les ev, on en rencontre quand même à la pelle) et exiger une norme osé, mais ça permet de bénéficier en retour de propriétés très sympathiques qui facilitent grandement la vie des mathématiciens. C’est toujours ainsi quand on demande toujours plus pour les outils : il n’y a qu’à voir ce qui se passe quand on exige que la norme soit déduite d’un produit scalaire. On obtient alors des espaces de Hilbert qui sont un cadre très agréable pour certaines questions d’approximation (non résolubles dans les evn généraux)…
Par ailleurs, en écoles d’ingénieurs, le passage par les filtres ne me paraît pas s’imposer naturellement (mais je n’ai rien contre, au contraire 
!). Les seuls endroits, à ma connaissance, où l’on ne travaille pas dans les evn à ce niveau, c’est quand on traite les distributions (il faut abandonner la norme pour une structure un peu plus générale, les « evt » ou espaces vectoriels topologiques).
En tous les cas, je ne crois pas qu’il faille être surpris par le fait que les filtres sont évoqués dans ton cours d’analyse. Tout comme on parlerait certainement des corps avant de parler des espaces vectoriels, ou des anneaux avant d’attaquer les modules…
ok bourricot, je suis d’accord je me suis aventuré sur un terrain un peu inconnu 
Moi je vois toutes ces choses de ma fenêtre, j’ai que 3 ans de mathématiques un peu plus sérieuses derrière moi, donc je vous parais de ce fait un peu trop présomptueux 
Sinon pour les filtres, en fait on les a vu que dans un chapitre « 0 » avec plein de choses compliquées {axiomes de Zermelo-Frankel, un espace topologique est compact si de tout recouvrement ouvert de E, on peut extraire un recouvrement fini , théorème de Tychonov (j’avoue j’ai du ressortir mon cours pour me rappeler de tout ça 
)} mais qui servent à RIEN dans ce qu’on a fait après, à savoir notion de tribu, mesure, applications mesurables, propriété vraie µ-presque partout…
Perso, je n’en suis pas loin dans mes études mathématiques mais je ne vois pas la topologie comme une sous-branche de l’analyse. Pour faire de l’analyse, il nous faut au moins une notion de distance sur l’espace, or la notion d’espace topologique n’a rien à voir avec la notion de distance, les espaces métriques ne sont qu’un cas particulier d’espaces topologiques, et les espaces vectoriels normés ne sont qu’un cas particulier d’espace métrique.
Par exemple, faire de l’analyse dans un espace topologique non séparé ne me parait pas possible (je peux me tromper).
Les espaces vectoriels normés sont quand même hyper sympathique, du genre l’équivalence des normes en dimension finie, l’adhérence de la boule ouverte est la boule fermée etc…
Tout ce qui j’ai dit ici ne réflète que ma vision des maths de mon point de vue à un instant précis, ca n’engage que moi 
un espace non séparé, ça doit être super pathologique
Flyrik a écrit:
ok bourricot, je suis d’accord je me suis aventuré sur un terrain un peu inconnu
Sinon pour les filtres, en fait on les a vu que dans un chapitre « 0 » avec plein de choses compliquées {axiomes de Zermelo-Frankel, un espace topologique est compact si de tout recouvrement ouvert de E, on peut extraire un recouvrement fini , théorème de Tychonov (j’avoue j’ai du ressortir mon cours pour me rappeler de tout ça)} mais qui servent à RIEN dans ce qu’on a fait après, à savoir notion de tribu, mesure, applications mesurables, propriété vraie µ-presque partout…
Non, il n’y a rien de tout cela dans mes propos, je ne vous juge pas ! D’ailleurs, je ne suis pas beaucoup plus avancé que toi ou Valentin88. Je vois ça aussi de ma fenêtre, mais moi j’habite au 7ème, c’est peut-être la seule différence . Je pense que je connais moins de 1% des maths qui ont été démontrées à ce jour, alors entre nous, la distance n’est pas bien grande par rapport à l’ensemble des maths.
J’essaie juste de rectifier certaines choses qui ne donnent pas une bonne image de ce que sont les maths(*), du genre : telle chose ne sert à rien… . Dis-toi que pour les maths qu’on fait en école d’ingénieur, à quelques écoles ou fiières près, il n’y a aucune raison de trop chercher à connaître les tenants et les aboutissants des résultats qu’on utilise. Savoir que ça marche, ça suffit. C’est un peu les maths-trousse à outils. En fait ça ne sert à rien pour l’ingénieur, mais ça n’est pas forcément le cas pour le mathématicien. Par exemple les fondements de la théorie de la mesure qui sont enseignées dans probablement toutes les écoles d’ingénieurs sont complexes, bien plus que la théorie elle-même qui est vue concrètement.
Au passage, à l’ENAC il y a un laboratoire qui travaille sur des problèmes d’optimisation de routes aériennes, je crois. Ils font des maths là-bas. Si jamais ça t’intéresse…
(*) Phrase en contradiction avec ce que j’ai écrit plus haut : si je connais moins de 1%, comment puis-je émettre un pareil jugement ? Disons que c’est une façon de parler (ça au moins ça ne coûte pas très cher !).
Valentin88 a écrit:
Perso, je n’en suis pas loin dans mes études mathématiques mais je ne vois pas la topologie comme une sous-branche de l’analyse. Pour faire de l’analyse, il nous faut au moins une notion de distance sur l’espace, or la notion d’espace topologique n’a rien à voir avec la notion de distance, les espaces métriques ne sont qu’un cas particulier d’espaces topologiques, et les espaces vectoriels normés ne sont qu’un cas particulier d’espace métrique.
Pas une « sous-branche », plutôt les fondations. Dans ma maison au « 1, Rue des maths », les fondations de l’étage de l’analyse sont fait en topologie (de la « bonne », de la générale). Et ça marche plutôt pas mal : il n’y a pas de fuite vers les étages inférieures, jamais une contradiction ou un paradoxe dont pourrait se plaindre un voisin .
En ce qui concerne l’analyse, nul besoin d’une distance ou d’une norme ! On peut parler d’applications continues entre deux espaces topologiques quelconques, de suites convergentes, et si on veut vraiment des vecteurs, on peut se placer dans un espace vectoriel topologique (voir wikipedia par exemple)… Encore une fois, tout dépend de ce que l’on souhaite faire avec tout cela.
bourricot a écrit:
Au passage, à l’ENAC il y a un laboratoire qui travaille sur des problèmes d’optimisation de routes aériennes, je crois. Ils font des maths là-bas. Si jamais ça t’intéresse…
oui ça m’intéresse, j’en ai entendu parler il me semble, je crois qu’on peut faire des projets, des mémoire mêlant aéronautique et maths, la classe , mais je ne suis pas encore concerné par ça en 1ere année 
PS : Vous connaissez peut-être mon prof M. Puechmorel (c’est le président du jury de CCP aussi je crois)
Flyrik a écrit:
un espace non séparé, ça doit être super pathologique
Bof, ça court les rues. Et il y a des propriétés de séparation plus faibles qui peuvent être utiles si besoin.
Il y a des espaces topologiques avec des points denses…
Snark a écrit:
[quote=« Flyrik »]
un espace non séparé, ça doit être super pathologique
Bof, ça court les rues.
[/quote]
Oui le taux de divorce n’est pas si élevé que ça …
Pas la peine de me chercher : 
Fylrik,
effectivement je connais Stéphane Puechmorel. C’est la personne la plus impressionnante que j’ai rencontré en mathématiques et d’assez loin je dois dire.