Une amie de l’INSA m’a posé le problème suivant
E etant un espace vectoriel, F un endomorphisme de E, il s’agit de démontrer Im F = Im F ² <=> E = Ker F + Im F
J’ai réussi à montrer l’implication <=
Mais je bloque sur la deuxième.
Si je prend un vecteur quelconque de E, comment puis-je montrer qu’il peut se décomposer comme la somme d’un vecteur du noyau et d’un vecteur de l’image de F ??
mq Imf²=Imf <=> Kerf²=kerf ( euh est-ce qu’on est en dimension finie ?)
=>)
Soit x\in E on veut trouver des solutions au problème :
\left\{\begin x=g+k \\\\ g\in Imf \\\\ k\in Kerf
On doit avoir f(x)=f(g+k)=f(g) car f(k)=0_E
Or f(x)\in Imf=Imf^2 donc il existe y\in E tel que : f(x)=f^2(y)
On pose alors g=f(y)
On a donc k=x-g
Il faut montrer que k\in Kerf
f(k)=f(x-g)=f(x)-f(g)=f(x)-f(f(y))=f(x)-f(x)=0_E
montre qu’alors KerF=KerF² et ensuite prends un élément y dans l’intersection de ImF inter KerF
et là tu vas trouver que y=0 (en composant par F)
le théorème du rang te permet de conclure, ça te va?
emmo → c’est plus concis comme ça mais il n’a pas précisé qu’il était en dimension finie 
edit : pour la dimension je ne sais pas, l’amie en question m’a dit que la dimension est infinie je crois
On travaille seulement en dimension finie en PCSI, non ?
Martin78 a écrit:
edit : pour la dimension je ne sais pas, l’amie en question m’a dit que la dimension est infinie je crois
et on te demande de prouver qu’ils sont en somme directe, supllémentaire ou juste
E=KerF+ImF??
oui tiwou et même en MP… la dimension infinie on n’y touche pas trop
En fait la premiere partie de l’exo se fait sans precision. Ensuite on raisonne en dimension finie (je rappelle que c’est un exo INSA et que je n’ai pas l’énoncé sous les yeux ) On montre que la somme est directe en s’aidant de la dimension finie justement, mais l’equivalence de depart se demontre sans je crois
emmo a écrit:
oui tiwou et même en MP… la dimension infinie on n’y touche pas trop
Euh, K, on connaît un peu quand même…
il est tard et je bloque 
:
il est evident que Ker F est inclu dans Ker F ²
supposons v dans Ker F ²
F(F(v)) = 0
sachant que im F = im F², pourquoi est-ce que F(v) = 0
Si ker f² = ker f alors on montre facilement que Im F inter ker F est reduit au vecteur nul.
Seulement je n’arrive pas à montrer que im f²=im f <=> ker f = ker f²
Martin78 a écrit:
il est tard et je bloque
:
il est evident que Ker F est inclu dans Ker F ²
supposons v dans Ker F ²
F(F(v)) = 0
sachant que im F = im F², pourquoi est-ce que F(v) = 0
Ce résultat me paraît faux en dimension infinie. En effet, si on considère le morphisme f(P)=P’ de IK dans IK…
On a : (fof)(P)=P’'.
Et de plus : Im f=Im f²=IKX
Or Ker f={polynôme constant}.
Et Ker f^2={polynôme du second degré+les constants}.
Donc, Ker f=/= Ker f^2.
Bon, je suis content, j’arrive enfin à formuler des contre-exemples.
Néanmoins, en dimension finie, c’est pas méchant.(inclusion+graBman)
PS : meme si ça parait trivial, comment démontrer que si A et B sont deux sous espaces vectoriels de E, dim A = dim B = n et A inclus dans B implique A = B ?
Soit A une base de A , A est une famille libre de n vecteurs de B, donc A est une base de B, donc A=B ???
Martin78 a écrit:
Soit A une base de A , A est une famille libre de n vecteurs de B, donc A est une base de B, donc A=B ???
Donc B est inclus dans A pour être rigoureux. Par définition de la sous-espace-vectorialité, A est en particulier inclus dans B, d’où la conclusion. C’est une démonstration juste.
on sait que A=im(f^2) est inclue dans B=im(f). SI ON EST EN DIMENSION FINIE
alors on utilise le th du rang pour f et f^2. or dim(A)<=dim(B) et si l’inclusion était stricte, on aurait contradiction: dim(E)<dim(E)
excusez de l’oubli : d’ou égalité des noyaux!
Voila la redaction que j’envoie à l’amie en question.
Nous sommes à présent en dimension finie. Montrons que les trois propriétés suivantes sont équivalentes
Soit n = Dim (E)(i) Im F = Im F²
(ii) Im F et Ker F sont suppplémentaires (autrement dit Im F + Ker F = E en somme directe)
(iii) Ker F = Ker F²
Montrons que (i) => (iii)
Ecrivons la formule du rang pour F et F²
n = Dim E = Dim (Ker F )+ Dim (Im F) = Dim (Ker F²) + Dim (Im F²)
Comme Im F = Im F², on peut simplifier et on trouve Dim (Ker F²) = Dim (Ker F)
Or, il est clair que Ker F est inclus dans Ker F² , Donc Ker F = Ker F²
Montrons que (iii) => (ii)
On a Dim (Im F) + Dim (Ker F) = Dim E. Il suffit de montrer que Im F inter Ker F = {0}
Soit v dans Im F inter Ker F.
F(v) = 0, et de plus il existe au moins un vecteur w de E tel que v = F(w)
donc F(F(w)) = F²(w) = 0
Ainsi w est dans Ker F² = Ker F, donc F(w) = 0 or v = F(w), finalement v=0, ce qui prouve que l’intersection est réduite au vecteur nul.
Sachant que Dim(Ker F) + Dim (Im F) = Dim (E) et que Ker F inter Im F = {0}, il est clair que Ker F et Im F sont supplémentaires.
**
Montrons que (ii) => (i)**Il est clair que Im F² est inclus dans Im F , il suffit donc de montrer l’inclusion réciproque
Soit v dans Im F, il existe u dans E tel que v=F(u). Or u peut se decomposer de la façon suivante :
u= a+ b avec a dans ker F et b dans Im F
donc v = F(a+b) = F(a)+F(b) = F(b) car F(a)=0 puisque a est dans Ker F
Or b est dans Im F, il existe donc c dans E tel que F(c)=b, donc v= F(F(c)) = F²(c) ce qui veut dire que v est dans Im F², donc finalement Im F²= Im F
je pense que ça devrait aller, 
ça m’a pris du temps