J’avoue qu’à première vue, ce n’est pas trivial.
vincentroumezy a écrit:
J’avoue qu’à première vue, ce n’est pas trivial.
C’est loin de l’être. Tu as des idées ?
Weensie a écrit:
[quote=« vincentroumezy »]
Merci bien pour ces réponses.
De rien.
Voici un exo.
Déterminer toutes les solutions (p,q,r)\in \mathbb{N}^3 , (p,q,r) premiers de l’équation:
p(p+1)+q(q+1)=r(r+1)
[/quote]
En réecrivant sous la forme p(p+1)=(r-q)(r+q+1) ou q(q+1)=(r-p)(r+p+1) on peut voir facilement que r+q+1 \equiv 0 (p) et r+p+1 \equiv 0 (q) et donc$r+p+q+1 \equiv 0 (pq)$ (sous hypothèse que p > q et donc$r>p$).
Alors, r+p+q+1=kpq avec k>0 soit r+p+1=kpq-q et r-p=kpq-q-2p-1>0 et donc (r+p+1)(r-p)=(kpq-q)(kpq-q-2p-1)=q(q+1) soit (kp-1)(kpq-q-2p-1)=q+1 et étant donné que p>q on a tout de suite k=1, ce qui entraine$(p-1)(pq-q-2p-1)=q+1$ et étant donné p>q on doit avoir pq-q-2p-1=1 et p-1=q+1 soit p=q+2. On retombe alors sur q^2-q=6 soit q=3 et donc p=5. Ceci entraine$r=6$ qui n’est pas premier. Reste à traiter le cas p=q qui doit être tranquille (pas de solution il me semble).
Remarque : On n’utilise pas le fait que r est premier, et je pense donc que remplacer r par r-1 dans l’équation fournirait des solutions (à savoir (p,q,r)=(3,5,7))
J’avais pensé à dire que r divise p(p+1)+q(q+1), et donc que r divise p+1 et q+1, et … je ne sais pas encore.
vincentroumezy a écrit:
J’avais pensé à dire que r divise p(p+1)+q(q+1), et donc que r divise p+1 et q+1, et … je ne sais pas encore.
C’est faux. (Et si tu avais réussi à montrer que c’était vrai, l’exo serait déja terminé).
vincentroumezy a écrit:
J’avais pensé à dire que r divise p(p+1)+q(q+1), et donc que r divise p+1 et q+1, et … je ne sais pas encore.
Un truc, pour faire le QG tu ne peux te permettre de dire de telles bêtises.
Mais enfin comme r+1 estun entiern on a bien r divise le membre de gauche.
7 ne divise pas 11 ni 10 pourtant il divise 10+11=21
C’est vrai.
Après vérification, j’ai procédé comme avec une équivalance, alors que ce n’est pas le cas.
Asymetric c le Cg rt pas le qg lol.
vincent si tu avances des resultats comme ca
ca risque detre dur.
et je vois pas ce que tu as voulu dire par equivalences.
bubulle cest pas tout a fait exact mais cest bien parti
Weensie a écrit:
Asymetric c le Cg rt pas le qg lol.
vincent si tu avances des resultats comme ca
ca risque detre dur.
et je vois pas ce que tu as voulu dire par equivalences.bubulle cest pas tout a fait exact mais cest bien parti
Lol, en effet CG je voulais dire, pas QG
Weensie, qu’est ce qui est bien parti.
Pour l’équivalance, je pensai tout haut, je faisais rférence à mon cours.
J’ai trouvé (2;2;3) comme solution particulière.
vincentroumezy a écrit:
J’ai trouvé (2;2;3) comme solution particulière.
Ce n’est pas une solution particulière. C’est la seule solution. C’est une énorme différence.
Donc, pour montrer que c’est la seule, je considère qu’il en existe ne autre, et j’abouti à une contradiction ?
vincentroumezy a écrit:
Donc, pour montrer que c’est la seule, je considère qu’il en existe ne autre, et j’abouti à une contradiction ?
Bah je sais pas comment tu as trouvé ta solution alors ?
Ma solution, je l’ai trouvée en tatonnant. Pour montrer l’unicité, il faut faire comme j’ai dit, non ?
vincentroumezy a écrit:
Ma solution, je l’ai trouvée en tatonnant. Pour montrer l’unicité, il faut faire comme j’ai dit, non ?
En tâtonnant ? Alors tu es mal parti.
Regarde ce qu’a fait bubulle, ça pourra t’aider.
vincentroumezy a écrit:
Donc, pour montrer que c’est la seule, je considère qu’il en existe ne autre, et j’abouti à une contradiction ?
Eventuellement…
J’ai vu ce qu’il a fait. C’est astucieux.