salut a tous !
je voudrais une solution generale,pour cette equation ( dans IR )
x et y sont les inconnus
x^y=y^x
j'ai le domandé à mon professeur ; puis il m'a repondu qui'il ne connait la reponse !
[Sleep]
déjà, on a certaines solutions évidentes : tous les couples (x,y) de la forme
(k,k) où k€|R
tu as aussi (4,2) qui convient.
on a aussi (2;4) ; mais y a t-elle une solution generale ?
remarque : pour k : k appartient à IR*
On a même (2^k,4^k) et bien entendu sa permutation -_-, pour k€IR*
Cependant, difficile de trouver une solution générale, mais tous les couples d’entiers semble admettre une solution, donc il semble exister une solution générale 
On suppose par exemple x < y.
On peut alors poser u tel que y/x = 1+u, avec u > 0.
Alors :
[tex]x^y = y^x \Longrightarrow ln(y)/ln(x) = y/x = 1+u[/tex]
On déduit de ceci :
[tex]y = x \times (1+u) = x^{1+u} \Longrightarrow 1+u = x^u \Longrightarrow x = (1+u)^{1/u}[/tex]
D’où :
[tex]y = (1+u)^{1+1/u}[/tex]
u dépend de y… je sais bien… mais c’est une forme un peu plus sympa à étudier…
Un autre méthode permet de montrer :
[tex]y(x) = e^{\left(-W\left(-\frac{\ln(x)}{x}\right) \right)}[/tex]
où W est la fonction de Lambert (voir ici pour en savoir plus sur cette fonction).
[size=75]Sinon, pour info, j’ai testé avec Mathematica, et soit il ne donnait pas de solution, soit… il moulinait dans le vide sans rien trouver. Très amusante comme équation 
[/size]
Alban a écrit:
Sinon, pour info, j’ai testé avec Mathematica, et soit il ne donnait pas de solution, soit… il moulinait dans le vide sans rien trouver. Très amusante comme équation
Je rejoignais Mathematica… (bien que les solutions évidentes…)
DarKil73 a écrit:
On a même (2^k,4^k) et bien entendu sa permutation -_-, pour k€IR*
NON !
Les seuls couples d’entiers non triviaux et solutions sont (2,4) et (4,2).
Cependant, difficile de trouver une solution générale, mais tous les couples d’entiers semble admettre une solution, donc il semble exister une solution générale
Ca veut dire quelque chose ?
Alban a écrit:
D’où :
y = (1+u)^{1+1/u}u dépend de y… je sais bien… mais c’est une forme un peu plus sympa à étudier…
u dépend aussi de x ! Pas terrible !
c’est une bizzzare equation ! 
Philippe PATTE a écrit:
[quote=« Alban »]
D’où :
y = (1+u)^{1+1/u}u dépend de y… je sais bien… mais c’est une forme un peu plus sympa à étudier…
u dépend aussi de x ! Pas terrible !
[/quote]
Pas génial… mais c’est joli 
Sinon, vous avez en tête un truc propre pour résoudre ? Parce que ce que je trouve, ça sert à rien… et les formules qu’on trouve, je ne sais pas les démontrer.
Alban a écrit:
Sinon, vous avez en tête un truc propre pour résoudre ? Parce que ce que je trouve, ça sert à rien… et les formules qu’on trouve, je ne sais pas les démontrer.
On se limite à x strictement inférieur à y.
Pour tout x strictement entre 1 et e, il existe y>e (incalculable sauf à faire intervenir la fonction W déjà citée) tel que (x,y) soit solution.
Si ensuite on étudie les solutions entières, x ne peut valoir que 2 et y …
Pour les solutions entières, il existe aussi des solutions purement arithmétiques.
En résumé : c’est pas très très rigolo quoi
pour cette égalité, tu peux considérer la fonction
x->ln(x)/x sur R+
étudie ses variations…
C’est encore un oral de l’X !
Effectivement, pour les solutions entières, il y a quand même de plus « jolies » preuves d’arithmétique que l’étude de fonctions d’emmo (qui fonctionne très bien).
Salut voila un petit document que j’ai fait pendant l’année :
euh comment on fait pour maitre un document WORD sur un post ??
@+
Bonjour,
Ce document est très rédigé mais il contient au moins une erreur grave : à la dernière ligne, tu écris \frac{ln(a)}{a}=\frac{ln(b)}{b} si et seulement si \exists (a,b) tels que a \in [1,e] et b \in ]e;\infty[
Ca n’a aucun sens. Formellement, le fait d’écrire \frac{ln(a)}{a}=\frac{ln(b)}{b} suppose déjà qu’on ne peut plus écrire \exists (a,b) vérifiant n’importe quoi ! Tout ce qu’on cherche, c’est les valeurs de a et b qui conviennent !
On parlait récemment, sur un autre topic, de l’utilisation douteuse des quantificateurs en terminale : il faudrait peut-être (si tu les as bien vus, ce qui paraît probable puisque tu les utilises) revoir leur sens…
Tu sais Ragoudvo, le sens même des expressions telles que « équation », « résoudre une équation », « solution d’une équation » ne sont pas du tout claires pour des élèves qui sortent de TS.
Combien d’entre eux vont affirmer « résoudre une droite », « calculer une équation », « démontrer une solution »? J’en ai plein ma classe en début d’année.
Au passage, je te plussoie.