Bonsoir !
Je sais que P^{-1}AP\in\mathcal{D}_3(\mathbb{R}). Soit M dans \mathcal{M}_3(\mathbb{R}).
Malgré beaucoup de tentatives, je n’arrive pas à établir que :
AM=MA\Leftrightarrow P^{-1}MP\in\mathcal{D}_3(\mathbb{R}).
Quelqu’un pourrait-il m’aider ?
Bien à vous !
Bonjour,
on ne peut pas le démontrer puisque c’est faux en général (par exemple pour la matrice I_3).
C’est vrai avec une hypothèse plus forte : P^{-1}AP=D avec D diagonale ayant trois termes distincts sur la diagonale.
On le démontre alors en prouvant que les matrices qui commutent avec D sont les matrices diagonales.
Bonjour,
j’ai démontré que BP^{-1}MP=P^{-1}MPB où B est une matrice diagonale à coefficients distincts.
Est-ce suffisant pour conclure que P^{-1}MP\in\mathcal{D}_3(\mathbb{R}) ?
Cela suffit car en notant m'_{i,j} les termes de la matrice M'=P^{-1}MP on obtient pour tout (i,j) : b_{i,i}m'_{i,j}=m'_{i,j}b_{j,j}